Funksiyalarni Lagranj interpolyatsion formulasi yordamida approksimatsiyalash va egri chiziq yasash Reja

fx) va F(x) funksiyalarning qandaydir yaqinlik shartidan c vektor tanlanadi. c vektorni tanlash usullariga ko‘ra approksimatsiyaning turli ko‘rinishlari mavjud.
Agar yaqinlashish biror {Xi}, i=l,n diskret to‘plamda qurilsa, u holda approksimatsiyaga nuqtaviy approksimatsiya deyiladi.
Nuqtaviy approksimatsiyalash turlariga: interpolyatsiyalash; o ‘rtacha kvadratik yaqinlashish kiradi.

2. 
   Chiziqli interpolyatsiyalash
   

Chiziqli interpolyatsiyada jadvalda berilgan (x,, y_i), (i = 0, n) nuqtalar to‘g‘ri chiziqlar bilan birlashtiriladi va dastlabki berilgan f(x) funksiya [a; b] oraliqda uchlari interpolyatsiya tugunlaridan iborat siniq chiziqqa yaqinlashadi.
Umumiy holda qismiy oraliqlar [x_i-1} x]<=[a, b] turlicha bo‘ladi. Har bir siniq chiziq kesmasi uchun (x_i-1, y_i-1) va (x_i, y) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozish mumkin. Xususiy holda, i- interval uchun 2 nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi quyidagicha bo‘ladi:
y ^— y—i_ ^{x — x}i—i

(5)

a=

U holda ishchi formula: bunda

y ^— y—i ^xi ^{— x}i—i
y = ax_T + b, x. , < x_r < x ,
S il i ’ i—1 T i^?
y_t ^— y_t—i
^bi = y—1 ^{— a},^x,—1, i=1, n.
x — x

1-chizmadan ko‘rish mumkinki, (5) formulani amalga oshirish uchun oldin xt qiymat tushadigan oraliqni aniqlash kerak, so‘ngra bu oraliq chegaralaridan foydalanish mumkin.




x

Tugunlardan tashqari nuqtalarda nazariy xatolik R(x) = fx) - F(x) ф 0.

R₁ (x) = h², bunda М2 = max|f"(x) , xe[xi_i, xi].
8
Misol. Jadval bilan berilgan y = f(x) funksiya qiymatini x = 0,4 bo‘lgan hol uchun chiziqli interpolyatsion formuladan foydalanib hisoblang:

i	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	-0,5	0	0,2	1

Yechilishi: (5) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:
y = a_ix + b_i x_;1 < x_r < x,
y. — y
bunda a_t = — —, b_i = y_i—1 — a_ix_i—1, i=1, n
^xr ^{— x}r —1
xt = 0,4; 0,3 < x_t <0,5;
Jadvaldagi xm = 0,3; xi = 0,5; y,_i = 0,2; yi = 1 qiymatlar yordamida
koeffitsiyentlarni hisoblaymiz: a = ^{y — yi—1} = ^{1 — 0,2} = — = 4;
ⁱ x — ^ 0,5 — 0,3 0,2
^bi = ^yi—1 ^{— a}i^xi—1 = ^{0,2 — 4} ■^0,3 = ^—1;
Demak, y = 4x-1 funksiya ko‘rinishi aniqlandi. Endi x=0,4 qiymat uchun hosil bo‘lgan chiziqli funksiyaning son qiymatini aniqlaymiz: y = 4-0,4 - 1 = 0,6.

3. 
   Kvadratik (parabolik) interpolyatsiyalash
   

Kvadratik interpolyatsiyada interpolyatsion ko‘phad sifatida [xm, xi+1]e[a, b] oraliqdan olingan kvadrat uchhad qaraladi:
y = a_ix² + b_tx + c_i, x-j < x_r < x₊₁ (6)
Bunda ai, bi, Ci koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (3) shart asosida tenglamalar sistemasi tuziladi, masalan:
ax², + bx , + c. = y ,;
i i—1 i i —1 i У i—1 “
² + bx + c = y.; ⁽⁷⁾
i i i i i i
ax², + bx , + c. = y
i i+1 i i+1 i У i+1
Hisoblash algoritmi yuqoridagi mavzuga o‘xshash, biroq (5) munosabat o‘rniga (7) sistemani yechish maqsadida (6) munosabatdan foydalaniladi. Ravshanki, xt& [x0, x„] uchun 3 ta eng yaqin nuqtalar olinadi.
Usulning grafik tasviri quyidagicha:


Chizma 2.

Interpolyatsiya tugunlaridan tashqarida nazariy xatolikni topish formulasi:

R(x) =(x - xo) • (x - x₁) • (x - x₂) ^f (^x)
6
Misol. Jadval bilan berilgan y = f (x) funksiya qiymatini x=0,4 bo‘lgan hol uchun kvadratik interpolyatsion formuladan foydalanib hisoblang:

i	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	-0,5	0	0,2	1

Yechilishi: (6) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:
y=atx²+bix+ct x_t _₁ < x_T < x_i+1. a_i, bi, c_i koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (7) ga ko’ra tenglamalar sistemasini tuzish kerak. Buning uchun x_t = 0,4 nuqtaga eng yaqin bo‘lgan 3 ta nuqtani tanlaymiz: xm = 0,1; xt = 0,3; x_z-+i = 0,5.
y i—i = 0; yi = 0,2; yi+i = 1.
va mos tenglamalarni hosil qilamiz:

0,01a. + 0,1b. + c = 0;
0,09a + 0,3b + С = 0,2; 0,25a + 0,5b + С = 1;
^ai^xi_ i + ^bi^xi _i + ^ci = yi _i

a^i + bx + ^ci

>=A- B.
.2 ^ yi

	0,01	0,1	1		0		a
A =	0,09	0,3	1	; в =	0,2	; x=.	b
	0,25	0,5	1		1		c

^ai^xi₊1 + ^bi^xi₊1 + ^ci = yi₊1
Tenglamalar sistemasini matritsaviy ko‘rinishda yozib olamiz:



A ¹ teskari matritsani hisoblab topamiz:

75 -75 25 6

3

2

			75 75 25
	a		6 3 2		0
X =	b		-10 ^45 - 5		0,2
	c		3		1
			15 10 3
			8 8 8

- io 45 -5
3
10 3

15
8

8 8

A^-1 =

Matritsalami ko‘paytirib, a, b, c koeffitsiyentlarni aniqlaymiz:
a = 0 - ⁷⁵.1 + ²⁵ = 7,5; b = -2; c = 0,125;
3 5 2
Natijada izlangan funksiya ko‘rinishini olamiz: y = 7,5.x² - 2x + 0,125.
Endi x = 0,4 qiymat uchun hosil bo‘lgan kvadratik funksiyaning son qiymatini aniqlaymiz. Natija y = 0,525 ga teng.

4. 
   Lagranj interpolyatsion ko‘phadi
   

Umumiy ko‘rinishdagi interpolyatsiyada interpolyatsion ko‘phad x_T ning aniqlanish sohasida barcha intervallar uchun (2) ko‘rinishda izlanadi, ya’ni [x₀, x„] uchun:
ф( x) = a₀ + ax + a₂x² +... + a_nxⁿ. (8)
at koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (6.3) tenglamalar sistemasi tuziladi:
^a0 + ^a1^x0 + ...+ ^an^x0ⁿ = Уо;
ao + a1 x1 +... + a_nxⁿ_x = (9)
^a0 + ^a1 ^xn +... + ^an^xn = Уп .
Ma’lumki, agar t ф j lar uchun x_t ф Xj shart o‘rinli bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘ladi. (9) tenglamalar sistemasini yechish uchun oldin bayon qilingan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullaridan foydalanish mumkin. (9) sistemani to‘g‘ridan to‘g‘ri yechib, F(x) funksiyani (8) ko‘rinishida olgan ma’qul, bunda bir nechta hisoblashlar bitta jadval bo‘yicha bajariladi. y = f(xr) ni bir martalik hisoblash uchun a vektor parametrlarini topish shart bo‘lmagan boshqa algoritmlar tavsiya etiladi, interpolyatsion ko‘phadlar esa {x_t, y_t}, i=0, n jadval qiymatlari orqali yoziladi. Bular Lagranj va Nyuton interpolyatsion ko‘phadlaridir.

1. 
   . Ixtiyoriy interpolyatsion tugunlar sistemasi uchun Lagranj formulasi.
   

Lagranj ko‘phadi interpolyatsiya tugunlarida fx) funksiyaning qiymatlaridan tuzilgan chiziqli kombinatsiya ko‘rinishida izlanadi va interpolyatsiya tugunlari sistemasidan maxsus qurilgan qandaydir n- darajali ko‘phaddan iborat bo‘ladi:
n
^Ln^(x)=X уЪ ^(x)=У0¹0^(x)+уЛ ^(x)+•••+yJn^(x). ⁽¹⁰⁾
i=0
Demak, oldiniga (n+1)- darajali yordamchi ko‘phad tuziladi:
®(^x) = (^x - ^x0)(^x - ^x1)---(^x - ^xn ^{) (11)}
va n- darajali ko‘phad quyidagicha hosil qilinadi:
Ф.^(x) = =^{(x - x}0 )•• •^{(x - x}i-1^{)(x - x}i+1 )• ••^{(x - x}n⁾. ⁽¹²⁾
x - x_f
Ko‘rinib turibdiki, (11) ko‘phad xt interpolyatsiya tugunlarida nolga aylanadi,
ya’ni ®(x_t) = 0, t = 0, n, (12) ko‘phad ф^х) esa x_t tugunlardan tashqari barcha tugunlarda nolga aylanadi, ya’ni:
( ^ = I^{0, j}*^i; (13)
^{Ф X]} =|^(xj ^{- x}0⁾•••^(xj ^{- x}i-1^)(xj ^{- x}i₊1⁾•••^(xi ^{- x}n ⁾ * ^{0 j} = ⁱ •
(12) va (13) tengliklardan yangi begona (chet) ko‘phad kelib chiqadi:
l, (x) = ^
^{j (x - x}i ^)(xj ^{- x}0 ⁾••• ^(xj ^{- x}i-1 ^)(xj ^{- x}i+1⁾•••^(x_J ^{- x}n ⁾
U j- tugundan boshqa barcha tugunlarda nol qiymatni qabul qiladi, Xj tugunda esa uning qiymati 1 ga teng bo‘ladi, ya’ni

^lj ^(xi⁾ Н/ , J ^{i, j} = ^{0, n} .
f^{0, i} * j;
I^{1, i} = j;
U holda (10) munosabatga ko‘ra, j- ko’phad lj(x_t)-yj barcha tugunlarda (xj dan tashqari) nol qiymatni qabul qiladi va xj tugunda yj ga teng bo‘ladi:
f0, i * j; . . ~—
^⁾-yj = {y„, = j; ⁱ’^j = ⁰ⁿ
(10) ga ko‘ra quyidagi ko‘phadni tuzamiz:
ю( x)
^Ln^(x) = Xyl^(x) = Xyj-₍ ч ./ v j=0 j=0 ^{(x - x}i M^xj^)
bunda Ю'^(xj ⁾ = ^(xj ^- ^••^ ^(xj ^{- x}j_1 ^)(xj ^{- x}j +1 )• • • ^(xj ^{- x}n ⁾ .
Yoki yana-da qisqa ko‘rinishda quyidagicha bo‘ladi:
n n -y« __ -y«
Ln (x)=е^п^^ ; ¹⁴
j.0 ^j i=0 xj - xi
i * j
f ⁽”+¹⁾(^)

^Rn ^(x) = ^{f (x)} - ^Ln ^(x) =
ю(x), bunda £e[a, b].
(n +1)!
(8) ko‘phaddan farqli ravishda bu yerda barcha koeffitsiyentlarni oldindan aniqlash talab qilinmaydi. Biroq har bir xt uchun (14) texnologiya asosida Lagranj ko‘phadini hisoblash kerak. Shuning uchun ham hisoblash hajmi (9) hisoblash texnologiyasiga nisbatan farq qilmaydi.
Amaliyotda agar turli x_T lar uchun ko‘p sonli takroriy hisoblashlar talab qilinsa, u holda (8) sxemadan foydalangan ma’qul. Lagranj ko‘phadi boshqa sonli usullarni amalga oshirishda ham keng qo‘llaniladi. Shuni alohida ta’kidlash kerakki, n = 1 bo‘lganda bu chiziqli, n = 2 bo‘lganda parabolik interpolyatsiya hisoblanadi.

2.