2. Aniqmasliklar va ularni ochish
1.Aniqmasliklar. limitni hisoblashda funksiyalar ch.kich.f. lar bolsa, nisbatga da (0/0) korinishdagi aniqmaslik deyiladi. funksiyalar ch.kat.f. lar bolsa, nisbatga da korinishidagi aniqmaslik deyiladi. Xuddi shunga oxshash aniqmasliklar
limitlarni hisoblashda kelib chiqadi. Bunday hollarda limitlarni hisoblashga aniqmasliklarni ochish deyiladi.
va ( ) ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda quyidagi xossadan foydalaniladi: va funksiyalar nuqtaning biror atrofidagi hamma nuqtalarda o’zaro teng bo’lsa, ularning dagi limiti ham teng bo’ladi.
Masalan, va funksiyalar ning
dan boshqa hamma qiymatlari uchun teng, chunki
Yuqoridagi xossaga asosan,
boladi, yani
natijaga ega bo’lamiz.
Funksiyalarning limitini topishga bir necha misollar qaraymiz.
1-misol.
ekanligini funksiya limitining ta’rifidan foydalanib isbotlang.
Yyechish. Buni isbotlash uchun o’zgaruvchi miqdor va o’zgarmas miqdor orasidagi farq da cheksiz kichik funksiya ekanligini ko’rsatish kifoya. Demak,
ozgaruvchi miqdor da cheksiz kichik funksiyadan iborat. SHunday qilib,
.
2-misol.
ekanligini isbotlang hamda va larning qiymatlari jadvali bilan tushuntiring.
Yechish. bo’lganligi uchun cheksiz kichik miqdordir.
ni ayirmaga qoyib,
natijaga ega bњlamiz.
cheksiz kichik funksiya bo’lganligi uchun ham cheksiz kichik bo’ladi. SHunday qilib, isbot bo’ldi.
Endi yuqoridagi holatni argument, funksiya qiymatlari jadvali bilan korsataylik. Malumki intiladi.
|
2
|
2,5
|
2,8
|
2,9
|
2,99
|
2,999
|
|
|
2
|
4
|
5,68
|
6,32
|
6,9302
|
6,993002
|
|
Bu jadvaldan korinadiki, argumentning 3 ga yaqinlashib boruvchi qiymatlari uchun, funksiyaning mos qiymatlari 7 ga yaqinlashib boradi, yani cheksiz kichik miqdorga ayirmaning ham cheksiz kichik miqdori togri keladi. Yuqoridagi jadvalda bolib, holni qaradik. bolib, holni oquvchiga mustaqil korsatishni tavsiya qilamiz.
3-misol.
limitni hisoblang.
Yechish. Algebraik yigindining limiti, (5) formula, ozgarmas kopaytuvchini limit ishorasidan chiqarish (7) formulalarga asosan:
hosil bњladi.
Yuqoridagi misolda, limitlarning xossalariga asosan, argument ning o’rniga uning limitik qiymatini qo’yishga olib keldi.
4-misol.
limitni hisoblang.
Yechish. Ikkita funksiya nisbatining limiti (8) formula hamda oldingi misolda foydalanilgan limitlarning xossalarini qollasak,
bo’ladi.
Ratsional funksiyaing limitini hisoblash shu funksiyaning argument ning limitik qiymatidagi, qiymatini hisoblashga keltirildi.
Eslatma. elementar funksiyalarning intilgandagi limiti ( aniqlanish sohasiga tegishli) funksiyaning nuqtadagi qiymatiga teng bo’ladi. Masalan,
.
5-misol. limitni hisoblang.
Yechish. da surat ham, maxraj ham nolga aylanib ko’rinish-dagi aniqmaslik hosil bo’ladi.
Surat va maxrajni formula yordamida chiziqli kopaytuvchilarga ajratamiz. Bunda va lar kvadrat tenglamaning ildizlari. Demak,
bњladi.
6-misol. limitni hisoblang.
Yechish. da ko’rinishdagi aniqmas ifodaga ega bo’lamiz. Bunday aniqmaslikni ochish uchun kasrning surat va maxrajini ning eng yuqori darajalisiga, yani ga bolamiz, hamda limitlarning xossalaridan foydalansak
boladi. Bunda lar da cheksiz kichik funksiyalardir.
7-misol. limitni hisoblang.
Yechish. da surat va maxraj 0 ga teng boladi. Maxrajda irratsional ifoda mavjud, uni suratga otkazamiz, buning uchun kasrning surat va maxrajini ga kopaytiramiz.
8-misol. limitni hisoblang.
Yechish. bo’lganligi uchun
natijani olamiz.
9-misol. limitni birinchi ajoyib limitdan
foydalanib hisoblang.
Yechish. , deb almashtirsak, bundan , bo’ladi.
SHuning uchun,
,
chunki
.
10-misol. limitni ikkinchi ajoyib limitdan foydalanib hisoblang.
Yechish. da limitga o’tsak, ko’rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi. bilan almashtirsak, bu yerdan hamda da boladi..Demak,
kelib chiqadi.
SHundayqilib, .
11-misol. limitni hisoblang.
Yechish: da va bo’lib, ( ) ko’rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi.
.
Oxirgi ifoda da aniqmas ifoda boladi. SHunday
qilib,
.
1 2-misol. limitni hisoblang.
Yechish. da korinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi. Quyidagi shakl almashtirishni bajaramiz:
Oxirgi ifoda da korinishdagi aniqmaslik bolib, 11-misoldagidek ning yuqori darajalisiga surat va maxrajini bolib,
bunda da boladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |