|
funksiyaning
nuqtadagi chap limiti
deyiladi va
kabi belgilanadi.
Faraz qilaylik,
funksiya
to‘plamda berilgan,
nuqta
ning o‘ng limit
nuqtasi bo‘lib,
bo‘lsin.
8-ta’rif.
([2], p. 82, Def. 3.22) Agar
bo‘lsa, son
funksiyaning
nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi va
kabi belgilanadi.
Masalan,
n
n
0
n
,
2
,
1
,
0
n
n
0
0
|
)
(
|
|
|
0
b
x
f
x
x
n
n
n
0
n
0
x
x
n
b
x
f
n
)
(
b
)
(
x
f
0
x
)
(
x
f
R
X
0
x
X
)
0
(
)
,
(
0
0
X
x
x
|
)
(
|
:
)
,
(
,
0
,
0
0
0
b
x
f
x
x
x
b
)
(
x
f
0
x
)
0
(
)
(
lim
0
0
0
x
f
x
f
b
x
x
)
(
x
f
R
X
0
x
X
0
0
( ,
)
x x
X
(
0)
|
)
(
|
:
)
,
(
,
0
,
0
0
0
b
x
f
x
x
x
b
)
(
x
f
0
x
)
0
(
)
(
lim
0
0
0
x
f
x
f
b
x
x
funksiyaning 0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti –1 bo‘ladi.
Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator
xossalarga ega.
Faraz qilaylik,
funksiya
to‘plamda berilgan bo‘lib,
nuqta
ning limit nuqtasi bo‘lsin.
1-xossa
. ([2], p. 89, Th. 4.1) Agar
da
funksiya limitga ega bo‘lsa, u
yagona bo‘ladi.
◄ Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining
yagonaligidan kelib chiqadi. ►
2-xossa
. Agar
, (
– chekli son)
bo‘lsa, u holda
nuqtaning shunday
atrofi topiladiki, bu atrofda
funksiya chegaralangan bo‘ladi.
◄Aytaylik,
bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifga binoan
da
ya’ni
bo‘ladi. Keyingi tengsizliklardan
funksiyaning
nuqtaning
atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi. ►
3-xossa
. ([2], p. 90, Th. 4.2) Agar
bo‘lib,
bo‘lsa, u holda
nuqtaning shunday
atrofi topiladiki, bu atrofda
bo‘ladi.
◄ Shartga ko‘ra
1,
agar
0
bo'lsa,
( )
0,
agar
0
bo'lsa,
1,
agar
0
bo'lsa,
x
f x
x
x
)
(
x
f
R
X
R
x
0
X
0
x
x
)
(
x
f
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
b
0
x
0
( )
U
x
(
0)
)
(
x
f
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
})
{
\
)
(
(
,
0
,
0
0
0
x
x
U
X
x
|
)
(
|
b
x
f
b
x
f
b
)
(
)
(
x
f
0
x
)
(
0
x
U
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
p
b
0
x
)
(
0
x
U
p
x
f
)
(
.
Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra
uchun shunday
son topiladiki,
,
,
uchun
bo‘ladi. Bu esa
da
bo‘lishini bildiradi. ►
Faraz qilaylik,
va
funksiyalar
to‘plamda berilgan bo‘lib,
nuqta
to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
4-xossa
. ([2], p. 92, Corollary 4.4) Agar
,
bo‘lib,
da
tengsizlik bajarilsa, u holda
, ya’ni
bo‘ladi.
◄
Aytaylik,
,
bo‘lsin.
Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra
ga intiluvchi ixtiyoriy
ketma-ketlik uchun
da
,
(1)
bo‘ladi.
Ravshanki,
da
(2)
Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan
, ya’ni
bo‘lishini topamiz. ►
5-xossa
. ([1], p. 223, Prop. 9.3.14) Faraz qilaylik,
,
limitlar mavjud bo‘lsin. U holda
a)
da
;
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
0
b
p
0
X
x
0
x
x
0
x
x
p
b
x
f
b
x
f
)
(
0
x
U
x
p
x
f
)
(
)
(
x
f
)
(
x
g
R
X
R
x
0
X
1
)
(
lim
0
b
x
f
x
x
2
)
(
lim
0
b
x
g
x
x
X
x
x
g
x
f
)
(
2
1
b
b
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
g
x
f
x
x
x
x
1
)
(
lim
0
b
x
f
x
x
2
)
(
lim
0
b
x
g
x
x
0
x
0
n
x
x
0
(
,
)
n
n
x
X
x
x
n
1
(
)
n
f x
b
2
(
)
n
g x
b
N
n
)
(
)
(
n
n
x
g
x
f
)
(
lim
)
(
lim
0
0
n
x
x
n
x
x
x
g
x
f
2
1
b
b
0
1
lim ( )
x
x
f x
b
0
2
lim ( )
x
x
g x
b
1
2
( ,
)
b b
R
R
c
)
(
lim
))
(
(
lim
0
0
x
f
с
x
f
c
x
x
x
x
b)
v)
g) Agar
bo‘lsa,
;
bo‘ladi.
Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi
haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi.
1-misol.
Ushbu
limit hisoblansin.
◄ Bu limitni yuqoridagi xossalardan foydalanib hisoblaymiz:
.►
2-misol.
Ushbu
limit hisoblansin.
◄ Ma’lumki,
. Shuni hisobga olib topamiz:
);
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
0
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
);
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
0
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
0
2
b
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
1
...
lim
3
2
1
x
n
x
x
x
x
n
x
1
)
1
(
...
)
1
(
)
1
(
)
1
(
lim
1
...
lim
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
n
x
x
x
x
n
x
n
x
2
1
2
1
(
1)[1 (
1) (
1) ... (
1)]
lim
1
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
)
1
(
...
3
2
1
n
n
n
2
0
cos
1
lim
x
x
x
2
sin
2
cos
1
2
x
x
2
0
2
2
0
2
0
2
2
sin
2
1
lim
2
sin
2
lim
cos
1
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
. ►
Do'stlaringiz bilan baham: |
