Funksional ketma-ketliklar va ularning yaqinlashuvchanligi

II-bob Funksional ketma-ketliklar va ularning xossalari


2.1 Funksional ketma-ketlik va uning limiti
Natural sonlar to'plami va biror X to’plamda (X ) aniqlangan F funksiyalar to’plami berilgan bo’lsin. Har bir natural n songa F to’plamdagi bitta funksiyani mos qo’yish n u_n(x) natijasida hosil bo’lgan
u₁(x), u₂(x), , u_n(x),  (1)
ketma-ketlik funksional ketma-ketlik deyiladi va {u_n(x)} kabi belgilanadi.
u_n(x) funksiya (1) funksional ketma-ketlikning umumiy hadi deyiladi.
Faraz qilaylik, X to’plamda (X ) biror
u₁(x), u₂(x), , u_n(x), 
funksional ketma-ketlik berilgan bo„lsin. X to’plamda x₀ nuqtani olib, berilgan funksional ketma-ketlikning har bir hadining shu nuqtadagi qiymatlarini qaraylik. Ular
u₁(x₀), u₂(x₀), , u_n(x₀),  (2) sonlar ketma-ketligini tashkil etadi.
Ta’rif. Agar (2) sonlar ketma-ketligi yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo„lsa, u holda {u_n(x)} funksional ketma-ketlik x₀ nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi, x₀ nuqta esa yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi deyiladi.
{u_n(x)} funksional ketma-ketlikning barcha yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtalaridan iborat to„plam, uning yaqinlashish (uzoqlashish) sohasi deyiladi.
Aytaylik, D (D ) to„plam {u_n(x)} funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi bo„lsin. U holda D to„plamdan olingan har bir x nuqtada funksional ketma-ketlik sonli ketma-ketlikga aylanib, u
yaqinlashuvchi, ya‟ni chekli limit lim u_n(x) ga ega bo„ladi. D to„plamdan
n
olingan har bir x ga unga mos keladigan sonli ketma-ketlikning chekli limitini mos qo„ysak, unda funksiyaga ega bo„lamiz. Uni {u_n(x)}
funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi deyiladi: lim u_n(x)=f(x).
n
Bu holda {u_n(x)} funksional ketma-ketlik D sohada (D sohaning har bir nuqtasida) f(x) funksiyaga yaqinlashadi va bu funksiya (1) funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi deyiladi.
{u_n(x)} funksional ketma-ketlik D sohaning har bir nuqtasida f(x)
funksiyaga yaqinlashadi, degan jumlani, boshqacha, quyidagicha aytish
mumkin: ixtiyoriy >0 son va ixtiyoriy xD uchun shunday n₀=n₀(,x)
topilib, barcha n>n₀ larda |u_n(x)–f(x)|< tengsizlik bajariladi.

1-misol.
1 _,
1  x²
1 _,
2  x²
1
3  x²
, ,
1