Funksional ketma-ketliklar va ularning yaqinlashuvchanligi

1.2 Darajali qatorlar.

Elementlari biror XCR to`plamda f<sub>1</sub>(x), f<sub>2</sub>(x),… (1) funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo`lsin. Bu ketma-ketlik funksional ketma-ketlik deb ataladi va {f_n(x)} kabi belgilanadi. (1) ketma-ketlikda f_n(x) funksiya sha ketma-ketlikning umumiy hadi deyiladi.

X to`plamdan x<sub>0</sub>єX nuqtani olib, (1) ketma-ketlik har bir hadining shu nuqtadagi qiymatini hisoblab, natijada f<sub>1</sub>(x<sub>0</sub>), f<sub>2</sub>(x<sub>0</sub>), …, f<sub>n</sub>(x<sub>0</sub>), … (2) sonlar ketma-ketligini hosil qilamiz.
Ta`rif. Agar {f_n(x₀)} sonlar ketma-ketligi yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsa, u holda {f<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik x<sub>0</sub> nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi.
Ta`rif. Agar {f_n(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamining har bir nuqtasida yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsin, u holda u X to`plamda yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi.
Ba`zi hollarda funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi aniqlanish sohasiga teng yoki uning bir qismi yoki bo`sh to`plam bo`lishi mumkin.
Aytaylik, X to`plam (XcR) {f_n(x)} funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi bo`lsin. Unda X to`plamdan olingan har bir X nuqtada funksional ketma-ketlik sonlar ketma-ketligiga aylanib, u yaqinlashuvchi, ya`ni chekli limit ga ega bo`ladi. X to`plamdan olingan har bir X ga unga mos keladigan sonli [0, )ning chekli limitini mos qo`ysak, unda funksiyaga ega bo`lamiz. Unda {f<sub>n</sub>(x)} funksional [0, ) ning limiti funksiyasi deyiladi:
=f(x) (3). Bu holda {f<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik X sohada (X sohaning har bir nuqtasida) f(x) ga yaqinlashadi deyiladi. Boshqacha aytganda, har qanday E>0 son hamda har qanday x(xєX) nuqta olganda ham shunday n natural son n (u olingan E va x larga bog`liq) topiladiki, barcha n>N uchun (4) tengsizlik bajariladi.
Ta`rif. Agar son olganda ham, faqat E ga bog`liq shunday n₀ natural son topilsaki, barcha n>N uchun tengsizlik bajarilsa, {f_n(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda f(x) ga tekis yaqinlashadi deyiladi.
Biror X to`plamda (XcR) f₁(x), f₂(x),…,f_n(x),… (1) funksional ketma-ketlik berilgan bo`lsin.
Ta`rif. (1) ketma-ketlik hadlarida tashkil topgan (2) ifoda funksional qator deyiladi. Bunda, f₁(x), f₂(x),… funksiyalar (2) qatorning hadlari f_n(x) esa uning umumiy hadi deyiladi.
(2) funksional qator hadlari yordamida tuzulgan ushbu:
S₁(x)=f₁(x)
S₂(x)=f₁(x)+f₂(x)
………………..
S_n(x)=f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x)
Yig`indilar ketma-ketligi funksional qatorning qismiy yig`indilar ketma-ketligi deyiladi.
Shuni takidlash lozimki, funksional qatorlarni o`rganish, funksional ketma-ketliklarni o`rganishga ekvivalent.
Ta`rif. Agar da {S<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik x<sub>0</sub> nuqtada (x<sub>0</sub>єX) yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsa, (2) funksional qator x₀ nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi..