Funksional analiz, algebra va analitik geometriya ʺ kafedrasi

       uchun   uning   sanoqli-kompakt   bo’lishi    zarur   va   yetarli. 

             Yechimi.    Zarurligi.     E   to’plam     kompakt     bo’lsin.    E      to’plamdan 

       ixtiyoriy    

   ketma-ketlikni   olamiz.    Bu   ketma-ketlikning     birorta   ham 

       qismiy     ketma-ketligi    E   da    yaqinlashuvchi    emas   deb  faraz   qilaylik.  U 

       holda    E   to’plamning     har    bir    z    elemanti     berilgan     ketma-ketlikning 

       faqat    chekli   hadlarinigina    o’z    ichiga   oluvchi   V (z)   atrofga  ega  bo’ladi. 

       Bu      atroflar     E    uchun     ochiq     qoplama     hosil    qiladi.     E     kompakt   

       bo’lgani    uchun   chekli   sondagi    

   elementlar   mavjud   bo’lib                       

      

                                              

    

 

 

                                                                 15 

---

 munosabat    o’rinli    bo’ladi.   Ammo    bu      munosabatning    o’rinli    bo’lishi                          

 mumkin     emas,     sababi     

      to’plamlarga     

  

 ketma-ketligining    faqat    chekli   sondagi    hadlari    tegishli,     E     to’plamga   

 esa    barcha    hadlari     tegishli.   Bu     ziddiyatdan     farazimizning     noto’g’ri 

 ekanligi    kelib   chiqadi.   U  holda    E   dan    olingan    ixtiyoriy    ketma-ketlik 

 E  da      yaqinlashuvchi    qismiy     ketma-ketlikka      ega    ekan.   Bundan    esa 

 E    to’plamning   sanoqli-kompakt   ekanligi   kelib  chiqadi. 

       Yetarliligi.   E   sanoqli-kompakt    to’plam    bo’lsin.     Faraz     qilaylik      E  

 kompakt    bo’lsin.  U   holda    E    to’plamdan    chekli   qism   qoplama    ajratib 

 olish    mumkin    bo’lmagan   

   ochiq    qoplamasi   mavjud   bo’ladi.  Nolga 

 intiluvchi    kamayuvchi   

   sonli    ketma-ketlik    olamiz.   E   uchun   chekli 

  -to’r     tuzib    (Hausdorf    teoremasi  bo’yicha   chekli   -to’r   tuzish  mumkin), 

 bu    to’rning    har    bir   elementi    atrofida    radiusi         bo’lgan   shar   hosil 

 qilamiz.   Sanoqli-kompakt     to’plamning     yopiq     qism     to’plami    sanoqli- 

 kompakt     bo’lgani    uchun    hosil    qilingan    har    bir    shar    yopilmasining 

 E    to’plam    bilan   kesishmasi    sanoqli-kompakt    bo’ladi.   Bu    kesishmalar- 

 dan    hosil   bo’lgan   to’plamlarning     diametrlari    2     sonidan   katta   emas. 

 Natijada    E    to’plam     diametrlari   2    sonidan    katta     bo’lmagan    chekli 

 sondagi    sanoqli-kompakt    to’plamlarning   birlashmasi     ko’rinishda     ifoda-                     

 lanadi.    Farazimiz     bo’yicha    

    sistemaning    chekli    qism    qoplamasi 

 mavjud   emas.   U   holda   birlashmadagi     sanoqli-kompaktlarning    hech   biri 

 ham     chekli    ochiq     qoplamaga     ega    emas.   Bu    sanoqli-kompaktni     

 

 orqali    belgilaymiz. 

      Endi    

   to’plam    uchun   chekli   

-to’r    tuzamiz    va   bu   to’rning   har 

 bir    elementi   atrofida   radiusi    

  ga   teng    shar   hosil   qilib,  

  to’plamni, 

 yuqoridagiday    qilib,    diametrlari    2

    sonidan    katta     bo’lmagan     chekli 

 sondagi     sanoqli-kompaktlarning    birlashmasi    ko’rinishida    ifodalaymiz. 

 Bu   b irlashmadagi    

    sistemaning    chekli     sondagi     to’plamlari    bilan  

 qoplanmaydigan    kompakt    to’plamni    

  orqali   belgilaymiz. 

 

 

      Bu    jarayonni     cheksiz    davom    ettirsak      sanoqli-kompaktlarning      ka- 

 mayuvchi  

 

                                                       

         

 

 ketma-ketligiga     ega    bo’lamiz.   Bu   ketma-ketlikdagi     hech     bir    sanoqli- 

 kompakt    

     sistemaning     chekli    sondagi    to’plamlari     bilan    qoplan- 

 maydi    va    diam

.   ξ   element    bu    kompaktlarga    tegishli     umumiy 

 nuqta      bo’lsin  (10- misolga  qarang).   ξ

    bo’lgani     uchun     

       sis- 

 temaga   tegishli   

  to’plam   topilib,   ξ 

  bo’ladi   va    2

  bo’lsin.   

 U   holda    

.  Bu   farazimizga   zid.   Demak,    E   to’plam    kompakt.                                                                                                                                                                                                                    

   

 

                                                                 16                                                                                                                                                                           

---

                          5-