Функцияларни яқинлаштириш

7-Mavzu: Sonli differensiallash.
Sonli differensiallash xatoligi. Aniqmas koeffisiyetlar metodi.
Juda ko’p amaliy masalalarda funksiya hosilalarini ayrim nuqtalarda taqribiy hisoblashga tog’ri keladi. Bunday masala sonli differensiallah masalasi deyiladi.
f(x) funksiyaning [a,b] oraliqda qiymatlari ma’lum bo’lsa ya’ni funksiya jadval ko’rinishda berilgan bo’lsa, u holda uning hosilasi sonli differensiallash usuli orqali topiladi.
Masalan f(x) funksiyani nuqtadagi hosilasini topish uchun shunday h>0 ni olib
(1)
(2)
(3)
Ko’rinishlardan birini olishimiz mumkin.
Sonli differensiallash usullari odatda interpolyatsion formulalarga asoslangan. Yani f(x) funksiyani [a,b] oraliqda P(x) ko’phad bilan almashtiramiz natijada

, (i=0…n) topiladi


Nyutonning 1- interpolyatsion formulasidan foydalansak



Formuladan quyidagi formula kelib chiqadi
bu yerda q=0 deb olsak quyidagi formula kelib chiqadi.


Aniqmas koeffisiyetlar metodi.
Agar tugun nuqtalar ixtiyoriy ravishda joylashgan bo’lsa amalda ancha qulay bo’lgan aniqmas koeffisiyetlar metodidan foydalanamiz. Faraz qilaylik f(x) ning hosilalari f^(k)(x_i) ni x_i nuqtalarqa f₀,f₁,….,f_n lar orqali ifodalash kerak bo’lsin.

C_i larni shunday tanlaymizki, u n- darajali ko’phad uchun aniq formulaga aylansin., yani

bu shartlar bizga C_i larga nisbatan n+1 ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini beradi.
Misol: ni f(x) ning x₀, x₀+h ,x₀+2h nuqtalardagi
f₀ , f₁ , f₂ qiymatlari orqali ifodalaymiz.
Yechish:

Tenglikda ketma-ket
larni qo’yamiz

C1=0 C0=-C2