Foydalanilgan adbiyotlar Monoton fuksiyalar Ta`rif 1

Teorema 1.4 (Tubini) segmentda

(10)

Qator berilgan bo`lib, uning hadlari kamaymaydigan (o`sib bormaydigan) funksiyalar bo`lsin. U holda bu qatorni deyarli bir nuqtada hadlab differensiallash mumkin, ya`ni

Isbot. Teoremaning umumiyligini chegaralamasdan va hamma funksiyalarni kamaymaydigan deb faraz qilish mumkin. va lar deyarli har bir nuqtada mavjud, demak, da o`lchovi ga teng bo`lgan shunday to`plam mavjudki, buning har bir nuqtasida ham , ham lar mavjud. va ixtiyoriy uchun ushbu

munosabatni yozamiz.

Misol. Endi hosilasi deyarli har bir nuqtada nol bo`lgan hamda hech qanday oraliqda o`zgarmas songa teng bo`lmagan monoton uzluksiz funksiyaga misol keltiramiz. intervaldan birror t sonni tanlab, segmentni ko`rinishdagi ta teng bo`laklarga bo`lib, induksiya usuli yordami bilan segmentda aniqlangan, uzluksiz quyidagi funksiyalar ketma-ketligini tuzamiz: da bo`lib ixtiyoriy n da funksiya segmentda aniqlangan, uzluksiz hamda har bir ko`rinishdagi bo`lakchada chiziqli bo`lsin. da funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: va nuqtalarda

;

oraliqlarning o`rtasida , ya`ni nuqtada:

Bu yerda t – yuqorida tanlab olingan son va oraliqlarida esa ni chiiqli deb hisoblaymiz

Ravshanki, bunday aniqlangan funksiyalar o`suvchi funksiyalardir va

Buning uchin ketma-ketlik biror kamaymaydigan funksiyaga yaqinlashadi. Bu funksiyaning uzluksiz, jiddiy o`sib boruvchi va deyarli har bir nuqtada hosilasi nolga teng ekanligini isbot qilamiz. Buning uchun segmentdan biron x nuqtani olamiz va har biri bu nuqtani o`z ichiga olgan va bir-birining ichiga joylashgan oraliqlar ketma-ketligini turamiz bu yerda

Agar biror bo`lakchani olsak, u holda nuqta (xuddi shuningdek, nuqta) yoki biror oraliqning o`rta nuqtasi bo`ladi yoki nuqta bilan ustma-ust tushadi.

Masalan, agar nuqta nuqta bilan ustma-ust tushsa, u holda nuqta oraliqning o`rta nuqtasi bo`lib, funksiyaning aniqlanishiga asosan, ushbu

,

Tenglikka ega bo`lamiz.

Bulardan

Tenglikni olamiz.

Aksincha, agar nuqta biror oraliqning o`rta nuqtasi bo`lsa, u holda nuqta bilan ustma-ust tushib, yana funksiyaning aniqlanishiga asosan

Tengliklarga ega bo`lamiz. Bulardan

Tengliki olamiz.

Demak, umumiy holda ushbu

Tenglikni yozishimiz mumkin. Bundan va

Tengliklardan

Tenglikni, bundan esa