Foydalanilgan adbiyotlar Monoton fuksiyalar Ta`rif 1

1. Aytaylik, segmentdan olingan soni chekli yoki sanoqli nuqtalarga musbat sonlar mos qo`yilgan bo`lib bo`lsin. segmentda

(1.1)

Tenglik bilan aniqlangan funksiya sakrash unksiyasi deyiladi. Bu funksiya nuqtada chapdan uzluksiz monoton funksiyadir. Haqiqatan, n natural sonni shunday katta tanlashimiz mumkinki, bo`lganda tengsizlik ham o`rinli bo`ladi. Bundan funksiyaning ta`riflanishiga asosan:

Tenglik kelib chiqadi. Bundan da ni olamiz. Agar (1) tenglik bilan aniqlangan funksiya o`rniga ushbu

(1.2)

Tenglik bilan aniqlangan funksiyani olsak, bu funksiya uzilish nuqtalari lardan va bu nuqtalarga mos kelgan sakrashlari sonlardan iborat bo`lgan o`ngdan uzluksiz monoton funksiya bo`ladi.

Haqiqatan, agar nuqta nuqlarning birortasi masalan, bilan mos tushsa, u holda

,

Tengliklardan funksiyaning ta`riflanishiga asosan

Tenglikka ega bo`lamiz. Agar x nuqta nuqtalarning birortasi bilan ustma-ust tushmasa, u holda sonni shundaytanlash mumkinki, tengsizlik bilan birga tengsizlik ham o`rinli bo`ladi. Bundan va funksiyaning ta`riflanishidan

Tenglik kelib chiqib, funksiya uzluksiz bo`ladi. Endi funksiyaning o`ngdan uzluksizligi

Tenglikdan kelib chiqadi.

2. segmentdagi Kontor mukammal to`plamini qaraymiz va funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:

Agar

Bo`lsa,

Ikkinchi qadamda tushirib qoldirilgan intervalda va intervalda va umuman k-qadamda tushirib qoldiriladigan chapdan birinchi intervalda , ikkinchi intervalda va hakozo. Oxirgi intervalda kabi aniqlaymiz. Bu jarayonni cheksizgacha davom ettiramiz. Natijada funksiya segmentdagi Kontor mukammal to`plamidan boshqa barcha nuqtalarida aniqlangan bo`ladi (14-shakl).

Endi to`plamda funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: agar bo`lsa,

Bundan tashqari, nuqtada deb olsak, funksiyani butun oralig`ida aniqlagan bo`lamiz. Bu usul bilan aniqlangan funksiya monoton kamaymaydigan uzluksiz funksiyadir. Haqiqatan, funksiyaning monotonligi uning ta`riflanishidan ravshan. funksiyaning uzluksizligini isbotlaymiz. Agar bu funksiya nuqtada uzulishga ega bo`lsa, u holda

Yoki

Segmentlardan birortasi funksiyaning qiymatlarini o`z ichiga olmaydi. Lekin funksiyaning ta`riflanishiga, asosan, uning qiymatlari intervaldagi barcha ikkilik ratsional sonlardan iborat bo`lib, unda zich joylashgan. Bu qarama-qarshilik funksiyaning uzluksizligini isbotlaydi. funksiya kontor funksiyasi deyiladi.