Fizika-matematika fakulteti «Tekislikdagi Lobachevskiy aksiomasi va undan kelib chiqadigan natijalar»

2.2-§. Lobachevskiy geometriyasi
Lobachevskiy aksiomasi va undan kelib chiqadigan dastlabki xulosalar. Lobachevskiy geometriyasining aksiomatikasi absolyut geometriya aksiomalari qatoriga Lobachevskiy aksiomasini qo’shish bilan hosil qilinadi. Demak, Lobachevskiy geometriyasida absolyut geometriyaning barcha ta’rif va teoremalari o’z kuchini saqlaydi.
V.' L o b a ch e v s k i y a k s i o m a s i. Tekislikda to’g’ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida ikkita to’g’ri chiziq o’tadi.
Shuni ta’kidlab o’tamizki, to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan uning bilan kesishmaydigan to’g’ri chiziq o’tishligini tasdiqlovchi fakt absolyut geometriyaga taalluqlidir, bu to’gri chiziqning yagonaligini parallellik aksiomasi tasdiqlaydi. Loba­chevskiy aksiomasi esa bunday to’g’ri chiziqning kamida ikkitaligini tasdiqlaydi.
Teorema. Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan cheksiz ko’p to’g’ri chiziq o’tadi.



Isbot. Lobachevskiy aksiomasiga asosan nuqtadan to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan va to’g’ri chiziqlari o’tsin. to’g’ri chiziqda shunday nuqtani olamizki, bu nuqta va to’g’ri chiziq to’g’ri chiziq bilan aniqlanadigan turli yarim tekisliklarga tegishli bo’lsin. to’g’ri chiziqda ixtiyoriy nuqtani olib, to’g’ri chiziqni o’tkazsak, bu to’g’ri chiziq b bilan biror nuqtada kesishadi, nuqta bilan orasida yotadi. kesmaning ixtiyoriy nuqtasini olib, to’g’ri chiziqni o’tkazsak, bu to’g’ri chiziq a bi­lan kesishmaydi. Haqiqatan xam, bilan to’gri chiziq biror nuqtada kesishadi deb faraz qilib, uchburchak va to’g’ri chiziqqa nisbatan Pash aksiomasini qo’llasak, bilan kesishadi, degan xulosaga kelamiz. Bu esa shartga zid.
Demak, kesma nuqtalari cheksiz ko’p bo’lgani uchun ga o’xshash cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar nuqtadan o’tib, bilan kesish­maydi.
Beshinchi postulatning barcha ekvivalentlari xam Lobachevskiy geometriyasida o’z kuchini yo’qotadi, jumladan, uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi endi 180° ga teng emas.