Fizika-matematika fakulteti analitik geometriya fannidan

2.2. VЕKTORLARNI KO‘PAYTIRISH

Ikki vеktorning skalyar ko‘paytmasi. Ikki vеktorning vеktor ko‘paytmasi. Uchta vеktorning aralash ko‘paytmasi

2.2.1. uzunliklari aytiladi va
yoki
Ikki a va b vеktorning skalyar ko‘paytmasi dеb bu vеktorlar bilan ular orasidagi burchak kosinusi ko‘paytmasiga tеng songa

			kabi bеlgilanadi, ya’ni
ab, a b yoki		(a,b )
					(2.1)
			ab | a | | b | cos ,

ab | b

| Прb a |

a | Прa b ,

bu yerda

a,b .

Skalyar ko‘paytmaning xossalari:

(o‘rin almashtirish xossasi);

1^o. ab ba

(skalyar ko‘paytuvchiga nisbatan guruhlash xossasi);

2^o. ( a)b (ab )

3^o.

(qo‘shishga nisbatan taqsimot xossasi);

a(b c ) ab ac

4^o.

a

b ab 0 . Shuningdek, ab 0

(| a | 0,| b | 0)

a b ;

5^o. a ^2 | a |^2

yoki

a

^2 | a |

a 2

a .

Koordinata o‘qlari ortlarining skalyar ko‘paytmalari:

i ^2 j ^2 k ^2 1, i j j k k i j i k j i k 0.

1 misol. Agar

| a | 4 , | b | 6 ,a,b

bo‘lsa,

(3a

b) (2a 4b)

3

ko‘paytmani hisoblang.

Skalyar ko‘paytmaning ta’rifi va xossalaridan foydalanib, hisoblaymiz:

	b)
(3a		(2a 4b)
6 | a |^2 10 | a | | b			| cos
			3

3a	2a	b 2a	3a	4b b 4b 6a	2	10ab 4b ^2

4 | b |² 6 4² 10 4 6 ¹ 4 6² 96 120 144 72 . 2

				2
2 misol. Agar | a | 4,	| b | 3,a,b				bo‘lsa, bu vеktorlarga
				3

qurilgan parallelogramm diagonallarining uzunliklarini toping. a va b vektorlarga qurilgan parallelogram diagonallari



a b vektorlardan iborat bo‘ladi.
a b va

73

Skalyar ko‘paytmaning xossalaridan foydalanib, topamiz:

| a b |

(a b)^2

a ^2

2ab b ^2

| a |^2

2 | a || b | cos | b |^2

1

9 13,

16 243

2

| a b |

(a b)^2

a ^2

2ab b ^2

| a |

^2 2 | a || b | cos | b |^2

16 243

1

9

37.

2

bo‘lsin.

a ax i ay j az k , b bx i by j bz k vektorlar berilgan

U holda

(2.2)

ab a x bx a y by a z bz ,

ya’ni koordinatalari bilan berilgan ikki vеktorning skalyar ko‘paytmasi ularning mos koordinatalari ko‘paytmalarining yig‘indisiga tеng bo‘ladi.

							bo‘lsa,
	3 misol. Agar a {4; 2;3},b {1; 2;0},c {2;1; 3}
				ko‘paytmani hisoblang.
(a	3b) (a b		c)
	m	a	3b va n		a	b c vektorlarning koordinatalarini topamiz:

m {4 3 1; 2 3 ( 2);3 3 0} {7; 8;3}, n {4 1 2; 2 2 1;3 0 3} {5;1;0}.
Bundan (2.2) formulaga ko‘ra



m n 7 5 ( 8) 1 3 0 27.