Fizika kursi

Masalalar 

79-masala.  V=20  sm

3

  hajmli  metall  parchasi  T=0  haroratda  turibdi. 

Impulslari  maksimal  impuls  P

max

,  dan  0,1  P

max

  gacha  ko‘p  farq 

qilmaydigan  erkin  elektronlar  soni 

N

∆

  aniqlansin.  Fermi  energiyasi 

5

=

ε

eV. 

Berilgan: 

V=20 sm

3

 =2·10

-5

 m

3

, T=0, 

ε

=5 eV 

 

 

 

 

∆

N

 

~ ? 

Yechish.    Metalldagi  erkin  elektronlarning  impulslar  bo‘yicha 

taqsimotini  hosil  qilish  uchun  T=0  da  erkin  elektronlar  uchun  Fermi 

taqsimotidan foydalanimiz: 

ε

ε

π

ε

d

m

dn

2

/

1

2

/

3

2

)

2

(

2

1

)

(

h

=

     

 

         (1) 

dn(

ε

)  birlik  hajmdagi  energiyalari 

ε

  dan 

ε

+de  gacha  (

f

ε

ε

<

) 

qiymatlar oralig‘ida bo‘lgan elektronlar soni bo‘lganligidan, u impulslari 

P  dan  P+dp  gacha  qiymatlar  oralig‘ida  bo‘lgan  birlik  hajmdagi 

elektronlar soni dn(P) ga teng bo‘lishi kerak, ya’ni 

      dn(P)=dn(

ε

)                

 

 

(2) 

---

 

371

 

Bunda  quyidagi  shartga  rioya  qilinmog‘i  lozim.  Berilgan 

ε

 

energiya  ma’lum  impuls 













=

m

p

p

2

2

ε

ς

ga  mos  keladi  va  energiyaning 

d

ε

  oralig‘iga  unga  mos  keluvchi  impulslarning 













−

mdp

p

d

dp

ε

 

oralig‘i  to‘g‘ri  keladi. 

ε

1/2

=r/(2m)

1/2

  ekanligini  nazarda  tutib,  (2) 

tenglikning  o‘ng  tomonidagi  dn  (

ε

)  o‘rniga  yuqorida  olingan 

munosabatlarga muvofiq 

ε

 ni r bilan va d

ε

 ni dr bilan almashtirib (1) 

ifodaga qo‘yamiz, ya’ni 

dp

m

p

m

p

m

p

dn

⋅

⋅













=

2

/

1

2

/

3

2

)

2

(

2

2

1

)

(

h

π

, 

qisqartirishlardan  keyin  metallardagi  erkin  elektronlarning  T=0  da 

impulslar bo‘yicha qidirilayotgan taqsimotini olamiz: 

dp

p

p

dn

2

3

2

1

)

(

h

π

=

 

 

Impulslari P

max

 – 0,1 P

max 

dan P

max

 gacha oraliqda bo‘lgan birlik 

hajmdagi  elektronlar  sonini  mos  chegaraviy  qiymatlarda  integrallash 

bilan topamiz: 

]

)

9

,

0

(

1

[

3

1

1

3

2

max

max

9

,

0

3

2

2

3

2

max

−

−

=

=

∆

∫

P

dp

P

n

P

P

h

h

π

π

   yoki   

3

3

max

2

3

2

,

0

h

P

H

n

⋅

=

∆

π

. 

 

Metallardagi elektronlarning maksimal impulsi P

max

 va maksimal 

energiyasi 

ε

  ushbu 

f

m

P

ε

2

2

max

=

  munosabat  orqali  bog‘langanligini 

hisobga olib (T=0da) metalldagi erkin elektronlarning qidirilayotgan soni 

N

∆

ni topamiz: 

2

/

3

3

2

)

2

(

3

271

,

0

f

m

N

ε

π

h

=

∆

   yoki   

V

m

N

f

⋅













=

∆

2

/

3

2

2

3

3

271

,

0

h

ε

π

 

---

 

372

π

, m, 

f

ε

, 

h

,V kattaliklarning qiymatlarini qo‘yib, hisoblab   (5eV=8

.

10

-

19

J), 

N

∆

=2,9

.

10

23

 ta elektronni olamiz. 

 

80-masala.  Temperaturasi  T=0K  bo‘lgan  mis  metallidagi  erkin 

elektronlarning maksimal Fermi energiyasi 

F

ε

 hisoblansin. Har bir mis 

atomiga bittadan valent elektron mos keladi deb olinsin. 

Berilgan:  

?

~

F

SI

ОК

Т

ε

=

 

Yechish.  Temperaturasi  T=0K  bo‘lgan  metalldagi  elektronlarning 

maksimal  Fermi  energiyasi 

F

ε

  erkin  elektronlar  konsentratsiyasi  bilan 

quyidagicha bog‘langan: 

)

2

(

)

3

(

3

/

2

2

2

m

n

F

π

ε

h

=

 .      

 

     (1) 

Bunda 

h

– Plank doimiysi; m – elektron massasi. Masalaning shartiga 

ko‘ra erkin elektronlar konsentratsiyasi (n) atomlar konsentratsiyasiga 

teng: 

           

M

N

n

А

ρ

=

  ,  

  

 

 

(2) 

Bunda 

ρ

-misning zichligi; N

A

 – Avagadro doimiysi; M – molyar massa. 

(2) ni (1) ga qo‘yib 

3

/

2

2

2

)

3

(

2

M

N

m

A

F

ρ

π

ε

h

=

 

ifodani hosil qilamiz. 

Berilgan  kattaliklarni  yuqoridagi  formulaga  qo‘yib,  hisoblashlarni 

bajaramiz: 

.

4

,

7

10

18

,

1

10

64

10

02

,

6

10

9

,

8

)

14

,

3

(

3

110

,

9

2

)

10

05

,

1

(

18

3

/

2

3

23

3

2

31

2

34

eV

J

J

F

=

⋅

=

=













⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

−

−

−

−

ε

 

---

 

373

81-masala.    Kremniy  temperaturasini  t

1

=0

0

C  dan  to  t

2

=10

0

C  gacha 

qizdirilganda  uning  solishtirma  elektr  o‘tkazuvchanligi  necha  marta 

oshadi? 

Berilgan:  

?

~

10

;

0

0

2

0

1

σ

С

t

C

t

=

=

 

Yechish.  Xususiy  o‘tkazuvchanlik  yarim  o‘tkazgichlarning  solishtirma 

elektr  o‘tkazuvchanligi  (

σ

)  temperatura  (T)  bilan  quyidagicha 

bog‘langan. 

)

2

/(

0

кТ

Е

е

∆

−

=

σ

σ

 

bunda 

σ

0

 – konstanta; 

Е

∆

 - taqiqlangan zonaning kengligi, 

Demak, 

)]

1

1

(

2

exp[

2

1

2

/

2

/

2

1

2

1

Т

Т

к

E

е

е

кТ

Е

кТ

Е

−

∆

=

=

∆

−

∆

−

σ

σ

 

Kremniy uchun 

эВ

E

1

,

1

=

∆

 ekanini hisobga olsak,  

28

,

2

283

1

273

1

)

10

38

,

1

(

2

10

76

,

1

exp

23

19

2

1

=













−

⋅

⋅

=

−

−

σ

σ

 

kelib chiqadi. 

 

Mustaqil yechish uchun masalalar 

 

240. T=OK haroratda metalldagi erkin elektronlarning konsentratsiyasi n 

aniqlansin. Fermi energiyasi 

ε

f

=1eV deb qabul qilinsin.  

(n=4,57·10

27

m

-3

)      

 

241.  Agar  litiy  va  seziydagi  Fermi  sathlari  mos  ravishda 

ε

f,1

=4,72  eV,    

ε

f,2

=1,53  eVga  teng  ekanliklari  ma’lum  bo‘lsa,  T=OKda  ulardagi  erkin 

elektronlar konsentratsiyalarining nisbati n

1

/n

2

 aniqlansin.  

                                                               (n

1

/n

2

 =0,9) 

 

242.  Agar  Fermi  sathi 

ε

f

=  7eV  bo‘lsa,  T=OK  haroratda  metalldagi 

elektronlarning o‘rtacha kinetik energiyasi 

k

> hisoblansin.  

                                                       (

k

>=3/5 · 

ε

f

=4.2eV)  

---

 

374

 

243. Agar har bir atomga bittadan erkin elektron to‘g‘ri keladi deb qabul 

qilinsa,    kaliy  uchun  aynish  harorati  T

kr 

baholansin.  Kaliyning  zichligi 

ρ

=860 kg/m

3

 

          (T

kr

=31,2kK) 

 

244.  T=OK  da  metalldagi  elektronlarning  o‘rtacha  tezligi  <

υ

>maksimal 

tezligi 

υ

max

  orqali  ifodalansin.  T=OK  da  Fermi  sathi 

ε

f

=6eV  bo‘lgan 

metall uchun <

υ

> hisoblansin.  

                    













=

=

〉

〈

s

Mm /

09

,

1

4

3

max

υ

υ

 

 

245.  Agar  aktivlanish  energiyasi 

∆

E

0

=0,1eV  bo‘lsa,  xususiy  elektr 

o‘tkazuvchanlikli  yarim  o‘tkazgichdagi  Fermi  sathi 

ε

f

    aniqlansin. 

Elektronlar  kinetik  energiyalarini  hisoblashning  nolinchi  sathi  sifatida 

o‘tkazuvchanlik zonasining eng pastki sathi qabul qilinsin.  

                                                    (

ε

f= 

0,05eV)   

 

246.  Xususiy  elektr  o‘tkazuvchanlikli  yarim  o‘tkazgich  (germaniy) 

muayyan  haroratda 

ρ

=0,48  Om.m  solishtirma  qarshilikka  ega  bo‘lgan. 

Agar  elektronlarning  va  teshiklarning  harakatchanliklari 

n

µ

  va 

p

µ

  lar 

mos 

ravishda 

0,36 

va 

0,16m

2

/(V.s)ga 

teng 

bo‘lsa, 

zaryad 

tashuvchilarning konsentratsiyasi n aniqlansin.  

(n=2,5·10

19

m

-3

)                                                       

 

247.  Germaniyda  atomlarning  bir  qismi  surma  atomlari  bilan 

almashtirilgan.  Kiritilgan  atomning  qo‘shimcha  elketronini  Bor  modeli 

bo‘yicha  qarab  uning  bog‘lanish  energiyasi  E  va  arbitasining  radiusi  r 

baholansin. Germaniynig dielektrik sindiruvchanligi 

ε

=16 

                  (E=0,053eV; r=0,85nm) 

 

248.  Kengligi 

l

=2  sm  bo‘lgan  yupqa  kremniy  plastinka  induksiya 

chiziqlariga  tik  qilib  bir  jinsli  magnit  maydoniga  (B=0,5Tl) 

joylashtirilgan. Plastinka bo‘ylab yo‘nalgan j=2mkA/mm

2

 tok zichligida 

Xoll  potensiallar  farqi  U

x

=2,8  V  bo‘lib  chiqdi.  Zaryad  tashuvchilarning 

konsentratsiyasi n aniqlansin.  

                              (n=5,25·10

10

m

-3

) 

---

 

375