Физические основы применения химических реагентов при заводнении нефтяных пластов

Puc. 10.1. Характеристические функции при вытеснении нефти раствором активной примеси


Как и при вытеснении нефти.водой функция Баклея- Леверетта f, как видно из (7), равна доле воды в потоке. Но при вытеснении нефти раствором активной примеси f зависит не только от насыщенности, но и от концентрации примеси с. Из (8) видно, что при увеличении вязкости воды и фазовой проницаемости нефти, уменьшении вязкости нефти и фазовой проницаемости воды с ростом концентрации с функция Баклея-Леверетта уменьшается. На рис. 10.1 приведены графики функции f для системы нефть вода (с = 0) и нефть раствор примеси (с = с⁰). Предельные водона сыщенности обозначены через * и * (с⁰).
Подставляя в первое уравнение (1) выражение для скорости фильтрации воды (7), получаем

₍₉₎
Подставив в уравнение баланса массы примеси (4) выражения для скоростей фаз (7) и для концентраций и а (3), пре­образуем его к виду
₍₁₀₎
Уравнения (6) (9) и (10) образуют замкнутую систему уравнений, описывающую процесс двухфазной фильтрации с активной примесью для определения , с, р.
Переходя к безразмерным переменным и по формулам (v =1), перепишем уравнения (9), (10) в виде
_(11)
(12)
где введены обозначения

Отметим, что в случае радиального вытеснения динамика водонасыщенности и концентрации примеси также описывается системой уравнений (11), (12). При этом в формулах для и следует положить v = 2.
Уравнения (11), (12) образуют независимую систему. Решив ее и определив насыщенность ст и концентрацию с из (6), найдем давление р.
В силу зависимости в качестве неизвестных в системе (11), (12) можно рассматривать как пару переменных ( ,с), так и ( ,f). Решение этих уравнений можно изображать графически: решению в точке ( , ) ставится в соответствие точка на плоскости ( , f) с координатами [ ( , ), f ( , ) ] (см. рис. 10.1).
3. Движение скачков насыщенности и концентрации.
Уравнения (11), (12) образуют гиперболическую систему квазилинейных уравнений. Уравнение (11) является уравнением баланса массы водной фазы, уравнение (12) - уравнением баланса массы активной примеси. Эти уравнения допускают разрывные решения, в распределениях насыщенности ( , ) и кон­центрации с ( , ) возможны скачки. На скачках должны выполняться условия баланса массы водной фазы и баланса массы примеси, которые выводятся аналогично случаю классической модели Баклея—Леверетта (см. § 5 гл. 9).
Условие баланса массы воды на разрыве приводит к соотношению (9.49) и может быть представлено в рассматриваемом случае в виде

₍₁₃₎
Выведем условия баланса массы активной примеси на разрыве. В единичном объеме пористой среды масса примеси, растворенной в воде, равна тса, растворенной в нефти - тКс(1— ), сорбированной - тГс. Примесь переносится водной и нефтяной фазами, сорбированная примесь - неподвижна. В подвижной системе отсчета, связанной с разрывом, физическая скорость примеси в воде равна , физическая скорость примеси в нефти - , сорбированной примеси-D'.
Массовый поток примеси перед разрывом равен массовому потоку примеси за ним:



Преобразуя полученное равенство, имеем

Перейдя к безразмерным переменным и , получим
₍₁₄₎
Условия баланса масс (13) и (14) называют условиями Гюгонио. Они связывают скорость разрыва D, значения неизвестных перед разрывом , и за ним
Перепишем условие (14) в следующем виде:




В силу уравнения (13) вторые слагаемые в левой и правой частях сокращаются. Далее возможны два случая. Если , то из полученного выше равенства имеем
₍₁₅₎
Используя свойство производных пропорций, из (15) и (13) получаем
₍₁₆₎
Если , то условие (10.13) перепишется в виде
₍₁₇₎
Скачки, на которых , называют с-скачками. Условие (16) означает, что на плоскости точки с координатами _, и (- b, -h) лежат на одной .прямой. Тангенс угла наклона этой прямой равен D.
Скачки, на которых , называют ст скачками. Условия (17) означают, что на плоскости точки за разрывов и передним лежат на одной кривой Баклея- Леверетта с=const. Тангенс угла наклона прямой, соединяющей эти точки, равен D.
При построении разрывных решений системы уравнений (11), (12), кроме условий Гюгонио (13), (14), необходимо еще удовлетворить условию устойчивости (см. § 5, гл. 9). Оно состоит в том, что разрывное решение устойчиво относительно наложения малых возмущений на само решение. Для скачков это условие сводится к выполнению неравенств
₍₁₈₎
Для с-скачков условие устойчивости сводится к выполнению только одного из неравенств (18).
Далее при построении разрывных решений задач фронтального вытеснения нефти раствором активной примеси требуется выполнение на скачках условий Гюгонио и условия устойчивости.
4. Вытеснение нефти раствором активной примеси. Рассмотрим задачу о непрерывном нагнетании в полубесконечный пласт водного раствора активной примеси с концентрацией с⁰. В начальный момент водонасыщенность в пласте равна насыщенности связанной воды _*. Процесс вытеснения описывается решением системы уравнений (11), (12) со следующими начальными и граничными условиями:

при ₍₁₉₎
при ₍₂₀₎
Если -решение рассматриваемой задачи, то при любом тоже является решением этой задачи. В этом легко убедиться прямой подстановкой в систему уравнений и в краевые условия. Задача (11), (12), (19), (20), описывающая реальный физический процесс, имеет единственное решение. Поэтому для любого выполняются следующие равенства:
_;
Положив , получим
_;
Отсюда видно, что решение задачи автомодельно, оно зависит от одного безразмерного комплекса так, что
₍₂₁₎
Продифференцируем уравнение (12) по частям. После подстановки в полученное равенство уравнения (11), получим
₍₂₂₎
Подставив автомодельные зависимости (21) в систему уравнений (11), (12), получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
_(23)
(24)
После подстановки автомодельной зависимости (21) в началь­ные и граничные условия (19), (20) формулируется краевая задача для системы (23), (24):
при ₍₂₅₎
при ₍₂₆₎
Систему (23), (24) можно рассматривать как однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных da/dz и dc/dt,. Ее тривиальные решения
, будем называть точками покоя. Нетривиальные решения этой системы соответствуют случаю равенства нулю ее определителя

Определитель равен нулю в следующих двух случаях:

1. 
   _{2) (27)}
   

В первом случае, как следует из уравнения (23), имеем . Решение такого типа будем называть простыми -волнами. Они задаются формулами
₍₂₈₎
Докажем, что второй случай невозможен. Для этого продифференцируем обе части равенства (27) по :

Полученное противоречие показывает, что других нетривиальных решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений (23), (24) нет.
Если к кривой с=const на плоскости провести касательную, то тангенс угла ее наклона, как следует из (28), равен . Изменению в простой -волне соответствует движение вдоль кривой с =const на плоскости (см. рис. 10.1).
Если автомодельное решение разрывно при некотором значении автомодельной переменной то величина разрыва равна скорости разрыва.
Таким образом, автомодельное решение задачи вытеснения нефти раствором активной примеси может состоять из простых ст-волн (28), точек покоя, устойчивых -скачков (17), устойчивых с-скачков (16). Последовательность этих элементов на плоскости называется «путем». Путь начинается в точке = 0 , заканчивается в точке (25). Решение задачи вы теснения сводится к построению пути, вдоль которого , монотонно возрастает от нуля до бесконечности.
Как видно из рис. 10.1, из точки = 0 на плоскости можно выйти только с помощью -волны; вдоль кривой с = с⁰ в точку можно попасть только -скачком с кривой с = 0. Переход с кривой с = с⁰ осуществляется с помощью с-скачка. Найдем зна­чения насыщенности перед скачком и за ним. Проведем из точки Ос касательную к кривой с = с⁰; 1- точка касания; 2- точка пересечения касательной с кривой с = 0; , - соответственно координаты этих точек. Если точка за разрывом ⁺ лежит выше точки 1 ( ⁺> ₁), то для скорости разрыва D выполняются следующие неравенства:

Как следует из (18), такой разрыв неустойчив. Если точка за разрывом лежит ниже точки 1 ( ⁺> ₁), то для скорости разрыва справедливо неравенство



Оно означает, что значение автомодельной переменной в -волне, предшествующей с-скачку, больше скорости скачка, т. е. величина вдоль пути немонотонна. Отсюда следует, что переход с кривой с=с⁰ на кривую с = 0 осуществляется скачком из точки 1 в точку 2.
Рассмотрим случай, когда точка 2 лежит на кривой с=0 ниже, чем точка фронтовой насыщенности при вытеснении нефти водой ( ₂< ₁). Как видно из рис. 10.1, это соответствует случаю слабой сорбции, т. е. малых значений константы Г.
Переход из точки 2 в точку * осуществляется -скачком; при ₂< _f этот скачок устойчив.
Путь, соответствующий автомодельному решению задачи (25) , состоит из -волны, соответствующей движению вдоль кривой с=с⁰ от точки ° (с⁰) до точки 1, с-скачка из точки 1 в точку 2, точки покоя 2 и -скачка в точку *. Решение имеет вид


_{(29)
(30)
(31)}
Здесь D₁ -скорость с-скачка; D₂ -скорость -скачка.
На рис. 10.2 в координатах приведена динамика фронтов вытеснения, распределения насыщенности и концентрации активной примеси в процессе вытеснения.
Обычно растворы химических реагентов закачивают в пласты в виде конечных объемов (оторочек), продвигаемых по пласту водой. Безразмерные переменные и вводятся таким образом, что