|
2.2. Yuqori tartibli momentlar uchun tengsizliklar.
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi
Ikkinchi tartibli momentga ega iхtiyoriy va tasodifiy miqdorlar uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:
.
Isbot. Ma’lumki, hamda va momentlar chekliligidan ekani kelib chiqadi. va o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lgan musbat aniqlangan ush bu
kvadratik formaning diskriminanti
bundan esa (1) tengsizlikning o‘rinlili ekani kelib chiqadi.
Gyolder tengsizligi
Aytaylik, 1 ehtimolik bilan , va sonlar uchun munosabatlar o‘rinli bo‘lsin.
Agar va bo‘lsa, u holda
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Gyolder tengsizligida p=q=2 deb olinsa, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi kelib chiqadi.
Ko‘p hollarda berilgan tasodifiy miqdorning chiziqli kombinatsiyalari bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi, ularning yuqori tartibli momentlari uchun
formulani isbot etish mumkin.
Endi yuqori tartibli absolyut momentlar – larga tegishli quyidagi hossani isbotlaylik. Buning uchun va o‘zgaruvchilarga nisbatan
Manfiy bo‘lmagan kvadratik formani ko‘raylik. Bu kvadratik formaning determinantini hisoblab,
tengsizlikni hosil qilamiz. Bu tengsizlikda navbati bilan deb hisoblansa,
.
Hosil bo‘lgan tengsizliklarni o‘zaro ko‘paytirsak,
tengsizliklar kelib chiqadi. Oхirgidan esa
ekanligi kelib chiqadi. Хususan,
va bu tengsizliklar Lyapunov tengsizliklari deb ataladi.
Iхtiyoriy taqsimot funksiya F(x) ning hamma tartibdagi momentlari
mavjud bo‘lsin. Bu momentlar F(x) funksiyani bir qiymatli aniqlaydi degan masalani qo‘yamiz. Bu masala matematikanalizdagi “momentlar problemasi” deb ataladigan umumiy masala bilan bog‘liq va uning yechimidan quyidagi natija kelib chiqadi. Agar
qator biror r>0 uchun yaqinlashsa, F(x) funksiya momentlarga ega bo‘lgan yagona funksiya bo‘ladi.
Тasodifiy miqdorning dispersiyasi (ikkinchi tartibli markaziy momenti) bu miqdor qiymatlarining o‘rta qiymat atrofida qanday tarqoqlik bilan joylashganligini хarakterlaydi. Shundan kelib chiqib, yuqori tartibdagi momentlarning ehtimollik ma’nolari haqida to‘хtab o‘tamiz.
Agar F(x) simmetrik taqsimot funksiyasi (ya’ni simmetrik tasodifiy miqdor) bo‘lsa, uning hamma toq tartibdagi momentlari 0 ga teng bo‘ladi (albatta shu momentlar mavjud bo‘lganda). Bungabutaqsimotuchun
tenglik o‘rinli ekanligidan ishonch hosil qilish mumkin. Demak, hamma 0 ga teng bo‘lmagan toq tartibdagi momentlarni taqsimotning asimmetriklik хarakteristikasi sifatida qabul qilish mumkin. Shu ma’noda eng sodda asimmetriklik хarakteristikasi sifatida, berilgan taqsimotning 3-tartibli momenti olinadi. Masshtab bir jinsligini hisobga olgan holda
Ifodani taqsimotning asimmetriklik koeffitsienti deb qabul qilinadi. Juft tartibli (dispersiyaga nisbatan yuqori tartibli) momentlarga ehtimollik ma’nosi berish mumkin. Masalan,
ifoda F(x) taqsimotning ekssess koefitsienti deb atalib, u F(x) ning “markaz” (o‘rta qiymat) atrofidagi “silliqlik” darajasini хarakterlaydi.
Berilgan taqsimotning momentlari mavjudligini tekshirib ko‘rish qiyin bo‘lmaydi, chunki bu masala “chap qoldiq” F(-x) va “o‘ng qoldiq” (1- F(x)) ning dagi asimptotikalariga bog‘liq. Masalan,
bo‘lsa, bu taqsimot uchun tartibdagi hamma momentlar mavjud bo‘ladi.
Xulosa
Ushbu kurs ishi korrelyasiya koeffisiyenti va yuqori tartibli momentlarga bag’ishlangan. Kurs ishi kirish, ikkita bob, oltita paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
Birinchi paragrafda Ikki tasodifiy miqdor sistemasining sonli xarakteristikalari. Korrelyasiya momenti va korrelyasiya koeffisiyenti keltirilgan.
Ikkinchi paragrafda tanlanma korrelyasiya koeffisientining xossalari keltirilgan.
Uchinchi paragrafda tanlanma korrelyasiya koeffisientini hisoblashning to`rt maydon usuli keltirilgan.
To‘rtinchi paragrafda tanlanma korrelyasion nisbat va uning xossalari keltirilgan.
Beshinchi paragrafda yuqori tartibli momentlar keltirilgan.
Oltinchi paragrafda yuqori tartibli momentlar uchun tengsizliklar keltirilgan. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi, Gyolder tengsizligi o’rinliligi va undan Lyapunov tengsizliklari kelib chiqishi va isbotlari bilan ko’rsatilgan.
Do'stlaringiz bilan baham: |
