Fanidan tayyorlagan kurs ishi mavzu: Nochiziqli tenglamalar sistemasining yechishning Broyden va Steffensen usullari Tayyorladi

Yechish. Iterasiya usulini qo’llash uchun berilgan sistemani

ko’rinishda yozib olamiz.
kvadrat sohani qaraylik. Agar shu sohaga qarashli bo’lsa, u holda o’rinli bo’ladi. Demak shu sohadan ixtiyoriy tanlaganimizda ham ham o’sha sohaga tegishli bo’ladi. Bundan esa (1.23) yaqinlashish shartining bajarilishi kelib chiqadi, ya’ni

o’rinli bo’ladi. Demak, qaralayotgan kvadrat sohada yagona yechim mavjud va uni iterasiya usuli yordamida taqribiy hisoblash mumkin. Dastlabki yaqinlashishni deb olaylik.


Hisoblashlarni shu singari davom ettirib,

bo’lishini aniqlaymiz. bo’lganligidan va uchinchi va to’rtinchi taqribiy yechimlarning kasr qismidagi uchta raqamining mos kelishi talab qilingan aniqlikka erishilganini bildiradi. Taqribiy yechim sifatida qiymatlarni olish mumkin.
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi 3 ta haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi Mathcad dasturi yordamida chizilgan grafiklardan ko’rish mumkin.

1.2.2- chizmada tenglama grafiklari keltirilgan.
Berilgan ushbu

Tenglamalar sistemasining musbat ildizlari aniqlikda topilsin. Sistemaning ildizlari grafik yordamida taqriban aniqlaymiz.



1.2.3-chizmada tenglama grafiklari keltirilgan.
Chizmadan ko'rinishicha shu ildiz oraliqda yotadi. Boshlang'ich yaqinlashish sifatida olamiz. Sistemani kanonik shaklga keltiramiz:

Endi soxada shartni bajarilishini tekshiramiz





Demak iteratsiya jarayoni yaqinlashadi.
aniqlik bilan yechimni aniqlash uchun zarur bo'ladigan iteratsiyalar soni



demak bajarilishi kerak bo'lgan iteratsiyalar soni
Zeydel usuli.
Oddiy iteratsiya usulining iteratsion jarayon yaqinlashishini tezlashtirituchi modifikatsiyalaridan biri Zeydel usuli bo’lib, bu usulning asosiy formulasi quyidagicha ifodalanadi:
, (1.2.10)
Bu iteratsion jarayon bilan bir qatorda ushbu
(1.2.11)
iteratsion jarayonni qarab, yaqinlashish vektori komponentalarini shu tenglamalar sistemasidan toppish mumkin. Bu tenglamalar sistemasining har birida bitta  noma’lum qatnashadi. Ana shu ₁ larning qiymatlari (1.2.11) tenglamalar sistemasining yangi birinchi = ₁ yaqinlashishi qiymati to’plami bo’lib xizmat qiladi. Navbatdagi ₂ lar esa ikkinchi yaqinlashishning qiymatlar to’plamini beradi, ya’ni = ₂ va hokazo. Bu usulning qulayligi shundaki, uni bitta
tenglama yechimini topishga qo’llash juda oddiy, ammo bu usul amaliyotda juda katta hajmdagi hisoblashlarni bajarishni talab qilishi mumkin.
Xususiy hol. Ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechish uchun ba’zi hollarda (1.2.10) iterasion hisoblash jarayoni o’rniga quyidagi «Zeydel jarayoni»dan foydalanish juda qulay: