Fanidan kurs ishi mavzu: Affin almashtirish gruppasi va uning qism gruppalari

Norasmiy tavsif

Elis va Bobning nuqtai nazaridan kelib chiqqan. Elis nuqtai nazaridan vektorli hisoblash qizil rangda, Bob esa ko'k rangda.
Quyidagi tavsiflash tushunish odatdagi rasmiy ta'rifga qaraganda osonroq bo'lishi mumkin: afin maydoni - a dan qolgan narsa vektor maydoni qaysi nuqtaning kelib chiqishi ekanligini unutganingizdan so'ng (yoki frantsuz matematikining so'zlari bilan aytganda) Marsel Berger, "Afinaviy bo'shliq - bu vektor maydonidan boshqa narsa emas, biz uning kelib chiqishini unutib, qo'shib qo'yamiz tarjimalar chiziqli xaritalarga "[2]). Tasavvur qiling, Elis ma'lum bir nuqta asl kelib chiqishi ekanligini biladi, lekin Bob yana bir nuqta - uni chaqiradi, deb hisoblaydi p- kelib chiqishi. Ikki vektor, a va b, qo'shilishi kerak. Bob nuqtadan o'qni tortadi p ishora qilish a va boshqa o'q p ishora qilish bva Bobning fikrini topish uchun parallelogrammni to'ldiradi a + b, lekin Elis aslida hisoblashganligini biladi
p + (a − p) + (b − p).
Xuddi shunday, Elis va Bob har qanday narsani baholashi mumkin chiziqli birikma ning a va byoki har qanday cheklangan vektorlar to'plami va odatda har xil javoblarga ega bo'ladi. Ammo, agar chiziqli kombinatsiyada koeffitsientlarning yig'indisi 1 bo'lsa, u holda Elis va Bob bir xil javobga kelishadi.
Agar Elis sayohat qilsa
λa + (1 - λ)b
u holda Bob ham xuddi shunday sayohat qilishi mumkin
p + λ (a − p) + (1 - λ) (b − p) = λa + (1 - λ)b.
Ushbu shartda, barcha koeffitsientlar uchun D + (1 - λ) = 1, Elis va Bob har xil kelib chiqish manbalaridan foydalanganiga qaramay, bir xil chiziqli kombinatsiya bilan bir xil nuqtani tasvirlaydilar.
Faqatgina Elis "chiziqli tuzilmani" bilsa, Elis ham, Bob ham "afinaviy tuzilmani" bilishadi, ya'ni. ning qiymatlari afin kombinatsiyalari, bu koeffitsientlar yig'indisi bo'lgan chiziqli kombinatsiyalar sifatida aniqlanadi 1. Afin tuzilishga ega bo'lgan to'plam afin bo'shliqdir.

Ta'rif

An afin maydoni to'plamdir A bilan birga vektor maydoni  va o'tish davri va bepul harakat ning qo'shimchalar guruhi ning  to'plamda A.[3] Afinalar makonining elementlari A deyiladi ochkolar. Vektorli bo'shliq  deb aytilgan bog'liq affin maydoniga va uning elementlari deyiladi vektorlar, tarjimalaryoki ba'zan bepul vektorlar.
Shubhasiz, yuqoridagi ta'rif, harakatning xaritalash ekanligini anglatadi, odatda qo'shimcha sifatida belgilanadi,

quyidagi xususiyatlarga ega.[4][5][6]

1. 
   To'g'ri identifikator:
   

, qayerda 0 nol vektor 

2. 
   Birlashma:
   

(bu erda oxirgi + ning qo'shilishi  )

3. 
   Erkin va o'tish davri:
   

Har bir kishi uchun  , xaritalash  a bijection.
Dastlabki ikkita xususiyat shunchaki (o'ng) guruh harakatlarining xususiyatlarini belgilaydi. Uchinchi xususiyat erkin va o'tuvchi harakatlarni tavsiflaydi, transitiviyadan kelib chiqadigan belgi, keyin esa in'ektsiya xarakteri erkin harakatdan kelib chiqadi. Yuqoridagi 1, 2 dan kelib chiqadigan to'rtinchi xususiyat mavjud:

1. 
   

4. 
   Bir-birining mavjudligi tarjimalar
   

Barcha uchun  , xaritalash  bijection hisoblanadi.
Xususiyat 3 ko'pincha quyidagi ekvivalent shaklda ishlatiladi.

1. 
   

5. 
   Chiqarish:
   

Har bir kishi uchun a, b yilda A, noyob mavjud  , belgilangan b – a, shu kabi  .
Ta'rifni ifodalashning yana bir usuli - afinaviy bo'shliq a asosiy bir hil bo'shliq vektor makonining qo'shimchalar guruhi harakati uchun. Bir jinsli bo'shliqlar ta'rifi bo'yicha tranzitiv guruh harakati bilan ta'minlangan va asosiy bir hil makon uchun bunday o'tish harakati ta'rifi bo'yicha bepul.