Fani bo’yicha o’quv-uslubiy majmua

Mavzuga oid ilmiy muammo
Matematikaning ko’pchilik masalalarida ba’zi to’plamlarni soni chekli to’plamlarning birlashmasi sifatida emas, balki soni cheksiz to’plamlarning birlashmasi sifatida ifodalashga to’g’ri keladi. Masalan, doiraning yuzini hisoblashda uni soni cheksiz bo’lgan to’g’ri to’rtburchaklar shaklida ifodalashdan foydalaniladi. Xuddi shunday egri chiziqli figuraning yuzini hisoblashda (Aniq integral tushunchasini kiritishda) foydalaniladi.
Bunday masalalarda o’lchovning additivlik xossasi etarli bo’lmay qoladi. Shu sababli bu xossani ma’lum bir ma’noda umumlashtirish masalasi muammo bo’lib hisoblanadi.
Additivlik xossasini biror ma’noda umumlashtirish muammosi hal qilingan emas.

II. Amaliy mashg’ulot. To’plam o’lchovi va uning xossalariga doir misol va masalalar yYechish.

Ajratilgan vaqt 8 soat.

Dars maqsadi:

1. Berilgan to’plamning o’lchovini xisoblab topishni o’rgatish.

Identiv o’quv maqsadi:

1. Berilgan to’plamni ng o’lchovini aniqlaydi.

2. O’lchovning xossalarini bilib oladi.

1. 
   Masalalarni yYechish uchun zaruriy tushunchalar.
   

Faraz qilaylik aq(a₁,a₂,,…,a_n) va bq(b₁,b₂,…,b_n) lar R

fazoning ikkita nuqtasi bo’lib a_ib_i (iq1,2,…,n) bo’lsin. Ushbu

Gq{xR_n, xq(x₁,x₂,…,x_n), a_iii}
to’plam R_n fazoda n o’lchovli ochiq parallelopiped deyiladi va
Fq{xR_n, xq(x₁,x₂,…,x_n), a_ix_ib_i}
to’plam R_n fazoda n o’lchovli yopiq parallelopiped deyiladi.
GDF shartni qanoatlantiruvchi D to’plam uchi a va b nuqtalarda bo’lgan n-o’lchovli paralelipiped deyiladi.
Agar AR_n to’plamni o’zaro kesishmaydigan {D_k} parallelopipedlarning birlashmasi ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa (A=D_k), u xolda A elementar to’plam deyiladi.
Ushbu

con A (AR_n ) to’plamning tashqi o’lchovi deyiladi, bunda

con n o’lchovli parallelopiped yoki F(G-ochiq yoki F- yopiq) ning hajmi deyiladi.
Ta’rif. Agar >0 uchun shunday elementar BR_n to’plam mavjud bo’lib, AR_n bo’lganda

bo’lsa, u xolda A to’plam Lebeg bo’yicha o’lchovli deyiladi.
Lebeg bo’yicha qaralayotgan o’lchovli to’plamlardagi A to’plamning tashqi o’lchovi shu to’plamning Lebeg o’lchovi deyiladi va  deb yoziladi. Tashqi o’lchov bilan bir vaqtda ichki o’lchovni ham qayd qilaylik.
Ushbu
_mD-^(C_AD), AD D_k
son A to’plamning ichki o’lchovi deyiladi.
Endi A to’plamning Lebeg o’lchovini quyidagicha ta’riflash mumkin.
Ta’rif. Agar tashqi va ichki o’lchovlar teng bo’lsa, u xolda A to’plam o’lchovli deyiladi va bu son uning Lebeg o’lchovi deb ataladi va
^_
deb yoziladi.
Agar bu tenglik bajarilmasa to’plam o’lchovsiz deyiladi.
Agar n1 bo’lsa, u xolda AR₁ to’plamning o’lchovini chiziqli (bir o’lchovli), n2 bo’lsa AR₂ to’plamning o’lchovini yassi (tekis ikki o’lchovli) deb ataymiz. Ixtiyoriy k o’lchovli (kn) AR_n to’plam uchun s o’lchovli o’lchovni (ksn) tushunchasini kiritish mumkin.
To’plamning o’lchovi cheksiz qiymatni ham qabul qilishi mumkin. Bu haqda quyidagini qayd etamiz. Sanoqli miqdordagi chekli o’lchovga ega bo’lgan to’plamlar birlashmasining o’lchovi cheksiz qiymatni qabul qilishi mumkin.

1.