Fan: jarayonlarni matematik modellashtirish 1 Matematik model va m odellashtirish. Chiziqli mavzu

Ob’ekt va model tushunchasi.

Matematik model va modellashtirish

Matematik modellashtirishning asosiy bosqichlari.

Modellashtirishning asosiy usullari

Masala.

Axborot texnologiyalari va jarayonlarni matematik modellashtirish fanining asosiy maqsad va vazifalari
nimalardan iborat? Bu fan ikki qismga bo’linadi: Mutaxassislik masalalarini yechishda axborot texnologiyalarini qo’llash Jarayonlarni matematik modellashtirish
Asosiy maqsadi: modellashtirish jarayonining umumiy qoidalarini, irrigatsiya va melioratsiya masalalarini matematik modellarini qurish hamda ularni yechish usullarini o’rganish.
* ■ • ■ » ■—» ■ • ■ » ■ — •—- ■ • ■ » ■ »—■ ■ • ■ » ■ ■ — •—— - ■ « - i— ■ ■ ■ *—- Asosiy vazifasi: Irrigatsiya va melioratsiya masalalarini shaxsiy kompyuter yordamida echish va olingan natijalarni tahlil qilish ko’nikmalarini hosil qilish.

Ob’ekt deganda har xil xossa va xususiyatlarga ega bo’lgan tabiatning biror elementi tushuniladi.








Kuzatilayotgan ob’ektlarni chuqur va har tomonlama o’rganish maqsadida tabiatda va jamiyatda ro’y beradigan jarayonlarning modellari yaratiladi. Buning uchun ob’ektlar hamda ularning xossalari kuzatiladi va ular to’g’risida tushunchalar hosil bo’ladi. Bu tushunchalar oddiy so’zlashuv tilida, turli rasmlar, sxemalar, belgilar, grafiklar orqali ifodalanishi mumkin.

Model so’zi lotincha so’z bo’lib, o’lchov, me’yor, namuna degan ma’noni anglatadi.^

Model - biror ob’ekt(original)ning ba’zi bir xususiyatlarini o’z ichiga olgan va uning o’rnida foydalaniladigan yangi bir ob’ektdir.

Ob’ektning xossa va xususiyatlarini matematik munosabatlar orqali ifodalash shu ob’ektning matematik modeli deb ataladi.

Matematik model qurish va uni echish jarayoni matematik modellashtirish deb ataladi.

Matematik modellashtirish jarayonining asosiy bosqichlari

1. 
   bosqich: Ob’ektni o’rganish
   
2. 
   bosqich: Matematik model qurish
   
3. 
   bosqich: Modelni echish usulini tanlash yoki ishlab chiqish
   
4. 
   bosqich: Tanlangan yoki ishlab chiqilgan echish usuli algoritmi asosida dastur tuzish
   
5. 
   bosqich: Natijalar olish hamda ularni tahlil qilib,xulosalar qilish.
   

Matematik modellashtirish jarayonini sxematik ko’rinishda qanday ifodalash mumkin?

Ob’ekt	—	Matematik model	—	Hisoblash usullari
t				1
Natijalar va tahlil	—	Dastur	—	Algoritm

Modellashtirishning qanday asosiy usullari mavjud?

Modellashtirishning asosiy usullari:

1. 
   Analitik usullar.
   
2. 
   Sonli usullar.
   
3. 
   Statistik usullar.
   
4. 
   Sonli-analitik usullar.
   
5. 
   Analitik-statistik usullar.
   

K
Analitik usullar


Analitik model - ob’ekt xossa va xususiyatlarini matematik apparatlar yordamida ifodalanishi.


. :— x - -


Yutuqlari:

Masalani yechimini analtik korinishida, jarayonlarni xar hil parametrlarda atroflicha tahlil qilish imkoniyatlari mavjudligi.


f(v) d v

amchiliklari:

Matematik model qurishda qator faraz va gipotezalardan foydalanganligi, ayrim hollarda yechimni analitik ko’rinishda ifodalash imkoniyatining yo’qligi

Sonli usullar

Sonli model - boshlang’ich shartlar asosida ob’ekt xossa va xususiyatlarini grafik yoki jadval ko’rinishda ifodalash.

1 2 3 4

a	в	5
0.1	2	3.14

10

5

0

Yutuqlari:

Analitik ifodalash mumkin bo’lmagan yechimlarni sodda ko’rinishda ifodalay olish, echilayotgan masalalar sinfini

oshira olish

Kamch Hlklan:

Taqribiy almashtirishlar hisobiga, matematik model adekvantligiga salbiy ta’sir qilish, ko’p sonli amallar bajarish kerakligi

Y
Statistik usullar

Statistik model -ob’ekt xossa va xususiyatlarini statistika ma’lumotlari yordamida ifodalash.^^^^^^^^^^^^^l

Yillar	2000	2005	2010
Xarajatlar	27	25	26
Hosildorlik	0.34	0.41	0.43
Daromad	102	134	134

utuqlari:

Universalligi, o’ta murakkab masalalarni tahlil qilish mumkinligi, ShK yordamida tajriba o’tkazish vaqtini kamaytirish, har qanday sharoitda tahlilni amalga oshirish

Kamch iliklari:

Modellashtirish jarayoni ko’p mehnat va mashina vaqtini talab qilishi, oraliq ma’lumotlar olishning imkoniyati yo’qligi

1- guruh xatolan yechilayotgan masalaning modelini qurish bilan bog’liq xatolar. Bu xatolar matematik model xatosi Ideb

1. 
   - guruh xatolan masalaning yechish uchun beriladigan boshlang’ich qiymatlarida uchraydigan xatolardir.
   

Bu xatolar qutilib bo’lmaydigan xatolar Ideb ataladi.^^^H

3 - guruh xatolarlmasalanin yechish usulidagi xatolardir.

Bu xatolar yechish usulining xatosi Ideb ataladi.^^^^^^B

4 - guruh xatolan hisoblashlarni bevosita ShK yordamida bajarishda paydo bo’ladigan xatolardir. Bu xatolar hisoblash xatolari Ideb

Matematik modellashtirishdagi xatolarni baholash uchun absolyut va nisbiy xato tushunchalari kiritiladi.

Agar biror masalaning aniq yechimi x va modellashtirish natijasida olingan taqribiy yechimi x₀ bo’lsa, u holda dx=\x-x₀\ miqdorga modellashtirishda yo’l qo’yilgan absolyut xato deb ataladi.

Xatolarni foizlarda ifodalash uchun nisbiy xato tushuncha

kiritiladi. Quyidagi

|x — x_n| Ax

Sx = ——• 100% = — • 100%

\x\ \x\

tenglik orqali aniqlanalanadigan miqdor nisbiy xato deb ataladi.B

Agar biror masalaning aniq yechimi x=4,462 va modelashtirish natijasida olingan taqribiy yechimi x₀=4,437 bo’lsa, u holda absolyut xato

Ax=

x-x

0

= \4,462-4,437\=0,025 ga,

nisbiy xato esa

ga teng bo’ladi.

Model qurish va uni yechish jarayonidagi xatoliklarni ayrim imkoniyatlardan foydalanish hisobiga kamaytirish mumkin bo’ladi. Ba’zi hollarda ShK razryadiga bog’liq xatolardan qutilish uchun quyidagi takliflarni e’tiborga olish maqsadga muvofiq bo’ladi :^B

MQiymati hisoblanadigan ifodalarni imkoni boricha soddalashtirish va unda bajariladigan amallar sonini eng kam miqdorga keltirish;

^Agar bir qator sonlar ustida qo’shish-ayirish amallarini bajarish lozim bo’lsa. dastlab kichik sonlar ustida amallarni bajarish;

>Oraliq hisoblashlarda qiymatlari deyarli teng bo’lgan miqdorlar ustida ayirish amalini bajarmaslik.

Masala.

daraxtidagi

olmoqchi.

bananni

Maymun

yong’oqni qanday otganda u bananga tegadi va banan yerga tushadi?

Masalaning tahlili:

• 
  Berilgan boshlangich ma’lumotlar etarlimi?
  
• 
  Masala echimga egami?
  
• 
  Masalaning echimi yagonami?
  

Faraz qilamiz:

•Yong’oq va bananlarni materia, nuqta deb hisoblaymiz;

•Maymun turgan joydan palma daraxtigacha bo’lgan masofa aniq;

•Maymun bo’yining bo’yining uzunligi aniq;

•Yerdan banangacha bo’lgan masofa aniq;

•Yong’oq xarakatining boshlang’ich tezligi aniq;

•Havo qarshiliga hisobga olinmaydi.

Berilgan ishbu shartlar asosida masalani echish uchun yong’oqni qanday burchak ostida otish kerakligini aniqlang.


Grafikli model(sonli usulda)

x = V cos a • t, y = h + V sin a •1 —

2

2

g^t

Masala: agar

2
g^t

• 
  c
  2
  
  os a -1 = L, h + V sin a -1 — —— = H
  

bo’lsa a ni aniqlang.

Matematik model _x = _{V C}q_{S a} • _t

2

gt y = h + V sin a-1 2

Boshlang’ich tezlik 0 ga teng bo’lsa, yong’oq o‘z joyida qoladi

t=0 da yong’oq koordinatasi (0,h)

Yuqoriga tik otilsa (a=90^o), x koordinata o’zgarmaydi

t ning qandaydir qiymatidan boshlab, y koordinata kamaya boshlaydi.

1. 
   usul
   

a burchakni o’zgartiramiz. Tanlangan a burchak uchun yong’oq xarakat grafigini quramiz. Agar yong’oq banandan baland o’tib ketsa, burchakni kamaytiramiz, aks holda esa burchakni oshiramiz.

2. 
   usul.
   

Birinchi tenglikdan yong’oq xarakati vaqtini aniqlaymiz:

L

• 
  cos a -1 = L ^ t =
  

. V cos a

a burchakni o’zgartiramiz. a qiymatiga mos t ni va unga mos y ni aniqlaymiz. Agar uning qiymati H dan katta bo’lsa, burchakni kamaytiramiz, kichik bo’lsa, oshiramiz.

1. 
   Maymun har doim bananni urib tushiradimi?
   
2. 
   Agar maymun yong’oqni har xil kuch(har xil boshlang’ich tezlik) da otsa nima o’zgaradi?
   
3. 
   Agar banan va yong’oqni material nuqta emas deb hisoblasak, nimalar o’zgaradi?
   
4. 
   Agar havo qarshiligini hisobga olsak, nima o’zgaradi?
   
5. 
   Agar daraxt tebranib turgan bo’lsa, nima o’zgaradi?
   

CHIZIQLI MODELLAR

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi(CHATS)ni yechish,

modellashtirishda ko’p uchraydigan masalalardan biridir. CHATS qandaydir fizik jarayonning matematik modeli deb qarash mumkin. Berilgan ma’lumotlar asosida ko’phadlar yoki maxsus egri chiziqlar qurish, differensial va integral tenglamalarni diskret algebraik sistema ko’rinishda ifodalash CHATS ni echishga keltiriladi.

CHATSni echish usullari

CHATSni echishda aniq (Gauss, Kramer, teskari matritsa, Jardon) va taqribiy (ketma-ket yaqinlashish, oddiy iteratsiya, Zeydel) usullaridan foydalanish mumkin.

n ta noma’lumli n chiziqli algebraik tenglamalar

a

sistemasi
x + a,„x„ + ... + a = b

Matematik modellashtirish jarayonining asosiy bosqichlari 10

gt y = h + V sin a-1 2 23

CHATSni echish usullari 27