|
S = I(f (x)_ g (x))dx
a
Bunda f (x) > g (x) va a - x - b dir.
Misol: y = x + 2 va y = x2 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini toping.
Yechilishi: Integrallash chegaralarini, ya’ni a va b ni berilgan chiziq tenglamalarini o’zaro tenglashtirib, topamiz:
x + 2 = x , x — x — 2 = 0.
Bundan, x1 = _2, x2 = 1 yani a = _2, b = 1. U holda, (4) formulaga asosan:
1
S = I((x + 2)_ x2 )dx =
_2
3 Л
2
x2 x
--+ 2 x--
v
2
3
1 1 „ / л 1
=---+ 2 _(_ 4)---
_2
3
' 8^ = 81.
v 3 J 3
1
Demak, izlanayotgan figuraning yuzasi S = 8^ dan iborat ekan.
Quyida ba’zi egri chiziqli figuralarning yuzalarini topish formulalarni qaraymiz.
Ellipsning yuzi
Ma’lumki, ellipsning tenglamasi
2 2
x У ,
--= 1
2 r 2
a b
(5)
0
n
n
0
b
1
1 с
dan iborat. Ellipsni 4 ta chorakka ajratib, uning bir bo’lagi, ya’ni 4 S ni topish
yetarlidir. (5) ga asosan
b l~2 2 y = — yla - x
a
(6)
1 b b a j_
(1) formulaga asosan 4 S = J ydx = _ J Va - x dx.
a a 0
Quyidagi almashtirishlar olamiz: x = a sin t, dx = a sin tdt.
U holda, integralning yangi chegaralarini aniqlaymiz: 0 = a sin t va a = a sin t
lardan a = 0 va p = ~. Bulardan ,
1S = b JVa2 - a2 sin21 • a cos tdt = ab Jcos2 tdt = J (1 + cos2t)dt =
2 ab i i ,
=---= — ab.
2 2 4
S
S = mb. (7)
Ellips yuzini topishning umumiy fomulasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
b
a2 - x2 dx = mb.
(8)
Ikkita parbolaning kesishmasidan hosil bo’lgan figuraning yuzi
y2 = 2px va x2 = 2py parabolalar berilan. S yuza OKAN va OLAN yuzalar ayirmasiga teng. Berilgan paralar O(0; 0) va A(2p; 2p) nuqtalarda kesishishadi. Shuning uchun
2 p
2 p x2
S = Jyl2pxdx- J~^dx = — p2 =
n
n
n
Demak, izlangan OKALO yuza OMAN kvadratining uchdan bir qismidan iborat.
Sikloidaning yuzi
/ ' t) va y = a(
2 л
2л
Somano = J ydx = a2 J(1 - cos t)2 dt = Зла2. (10)
00
Demak, sikloidaning yuzi S = Зла2 iborat ekan . 0
,
|
V M
| | | |
/ 1 a «
|
J I \
| | | |
) Y
| | |
N
|
A x
|
Qutb koordinatalarida yuzani topish
AOB sektor AB yoy, OA va OB nurlar bilan chegaralangan bo’lsin. Bunday sektorning yuzi qutb koordinatalarida quyidagi formula yordamida topiladi:
1 V2
S = - J r 2dq>.
Vi
(11)
Bunda r -qutb radiusi, (p -qutb radiusining OX o’q bilan tashkil qilgan burchagi, ya’ni qutb burchagi.
Arximed spirali birinchi o’ramining OX o’qibilan chegaralangan
qismining yuzi
Arximed spiralining birinchi o’rami O nuqtadan (qutb markazidan) boshlanib, A nuqtada tugagan bo’lsin.
U holda, qutb burchaklari p1 = 0 va p2 = 2л bo’ladi. Qutb radiusi
a
r = —p 2л
(12)
dan iboratdir. Bunda a - spiral qadami, ya’ni OA = a.
(11) formulaga asosan BCA egri chiziq va OA spiral qadami bilan chegaralangan figuraning yuzi quyidagi formula yoramida hisoblanadi:
1 2— a2 2— 1
S = 2 Ir2dP = 8—2 IP"dP = ". (13)
8—"
3
Kardioidaning yuzi p = a(1 + cosp) - kardioda bilan chegaralangan yuzani hisoblash talaba qilinsin. Ma’lumki, kardoida p = a(1+cosp)
OX qutb o’qiga nisbatan simmetrik.
Shuning uchun uning yuqori qismi yuzasini topib, natija ikkilantirilsa, yetarli bo’ladi. U holda,
1„ 1 — 2
- S = - fp2dp.
2 2J
(14)
Bundan,
S = I p2dp = a21(1 + cosp)2 dp=a2 I dp +2I cospdp+I cos2 pdp
— \
2
v 0
(15)
Я /I
I dp = — , I cos pdp = sinp— = 0 hamda
— 1 — 1 ( 1 I cos2 pdp = — I (1 + cos 2p)dp = — p + — sin 2p
0 2 0 2 v 2
hisobga olsak, (15) quyidagidan iborat bo’ladi:
—
~2
я
S = I p2dp =
a
v
— + 0 + — 2 у
3—
2
a
c _ 3— 2
Demak, kardioidaning yuzi S = —a ekan.
ekanligini
(16)
0
0
0
—
—
—
—
0
0
0
0
0
0
71
0
0
bitta kesmacha mos keladi. Agar egri chiziqni bo’lishni davom ettirsak, qism yoychalarning uzunligiga ularga mos keluvchi kesmalarning uzunligi yaqinlashadi. Funksiya grafigining bo’linish nuqtalaridan OX o’qiga proyeksiyalar tushiramiz. Undagi har ikki nuqta orasidagi masofalarni Axj,Ax2,...,Axn lar bilan belgilaymiz. Ixtiyoriy MM va Mi nuqtalar
ordinatalari farqini Ay* bilan belgilaymiz. U holda, Pifagor teoremasiga asosan
MM Mi kesmaning uzunligi quyidagicha bo’ladi.
(4) - integral yig’indidan iborat. Uni integral ko’rinishida ifodalash mumkin:
(5) formula yassi egri chiziq, ya’ni yoyning uzunligini topish formulasidir.
To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida yoy differensiali quyidagi formula ko’rinishida ifodalanadi:
(1)
Hosilaning ta’rifiga asosan: — = y' , u holda
(2)
Kesmalar hosil qilgan siniq chiziqning uzunligi
dan iborat bo’ladi. Egri chiziqning uzunligi l ni topish uchun (3) ning Ax;. ^ Odagi limitini olish lozim, ya’ni:
(4)
b
b
(5)
a
a
(6)
1-misol. O(C); 0) va N(2; 3) nuqtalar bilan chegaralangan y = x2 + 2 parabola yoyining uzunligini toping.
Do'stlaringiz bilan baham: |
