Eylerning 1-takomillashtirilgan usuli

3. Eylerning 2-takomillashtirilgan usuli

Har bir olingan y_i qiymat uchun iteratsion qayta ishlashni qo‘llab, Eyler usulini yanada aniqlashtirish mumkin.

Xususan, oldiniga

birinchi qo‘pol yaqinlashishdan kelib chiqib, quyidagi sxema bo‘yicha iteratsion jarayon quriladi

Ikkita ketma-ket , yaqinlashishlarning mos o‘nlik belgilari ustma-ust tushmaguncha iteratsiya davom etadi va  deb faraz qilinadi.

Qoidaga ko‘ra, yetarlicha h kichik qadamlarda iteratsiya tezroq yaqinlashadi. Agar 3-4 iteratsiyadan keyin ham mos o‘nlik belgilari ustma-ust tushmasa, hisoblash qadami h kichraytiriladi. y_i qiymatni bunday qayta ishlashdan keyin navbatdagi x_i+1 tugunga o‘tiladi.

3-misol. [0;1] kesmada tenglamaning yechimlari jadvalini Eyler usuli yordamida tuzing. Bunda qadamni h = 0.2, boshlang‘ich shartni y(0) = 1 deb oling.

Hisoblash natijalarini jadvalga joylashtiramiz:

Birinchi satrda i = 0 bo‘lganda x₀ = 0, y₀ =1,000 deb yoziladi va shular asosida f(x₀, y₀) = 1 hisoblanadi, so‘ngra y₀=hf(x₀, y₀)= 0,2 topiladi. U holda formuladan y₁=1+0,2 = 1,2 qiymatni olamiz.

U holda y₂ = y₁ + y₁ = 1,2 + 0,1733 = 1,3733.

for(int i=0; i

{

z[i]=pow(2*x[i]+1,1/2);

e[i]=(z[i]-y[i]);

cout<

Ikkinchi tartibli Runge-Kutta usuli.

Ushbu usul asosida turli aniqlik darajalariga ega bo‘lgan ayirmaviy sxemalarni qurish mumkin. Usul g‘oyasi izlanayotgan y=y(x) funksiyani to‘rning tugunlari atrofida Teylor qatoriga yoyishdan iborat.

Ushbu usulda у_i+1 qiymatlar quyidagi formulalardan topiladi:

у_i+1 = у_i + ∆у_i;

∆у_i= ∆у_i1 + ∆у_i2 ,





U holda .

Belgilash kiritamiz: y^*_i+1 = y_i+h f (x_i,y_i),
shunda .
y'=x²+y² tenglama uchun Runge - Kutta usulida Koshi masalasini yechish dasturi:

#include

#include

using namespace std;

int main()

{

const int n=5;

double a=0, b=1, h,x[n], y[n],y1[n],z[n],e[n];

h=(b-a)/n;

x[0]=0; y[0]=0;

for(int i=0;i<=n;i++)

{

x[i+1]=x[i]+h;

y1[i+1]=y[i]+h*pow(x[i]+y[i],2);

y[i+1]=y[i]+h/2*(pow(x[i]+y[i],2)+pow(x[i]+y1[i+1],2));

}

for(int i=0; i

{

z[i]=tan(x[i])-x[i];

e[i]=(z[i]-y[i]);

cout<

To‘rtinchi tartibli Runge-Kutta usuli.

Amaliyotda ko‘pincha 4-tartibli Runge-Kutta usulidan foydalaniladi. Bu usulda y_i+l kattaliklar quyidagi formulalardan topiladi:

у_i+1 = у_i + ∆у_i;

, bunda i=1,2,…;

k₁=f(x_i,y_i);

k₂=f(x_i+h/2, y_i+hk₁/2);

k₃=f(x_i+h/2, y_i+hk₂/2);

k₄=f(x_i+h, y_i+hk₃);

5-misol. у' = у – х differensial tenglama у(0)=1,5 boshlang‘ich shart bilan berilgan bo‘lsin. Runge-Kutta usuli bilan х= 1,5 uchun ε = 0,01 aniqlikda tenglamani yeching.

Yechilishi: h=0,25 bo‘lsin deylik. Butun integrallanuvchi [0; 1,5] kesmani 6 ta nuqta bilan bo‘laklarga ajratamiz:

x₀=0; х₁=0,25; х₂=0,5; х₃=0,75; х₄=1; х₅=1,25; х₆=1,5.

Boshlang‘ich shartlardan х₀=0; у₀=1,5 larga egamiz.

Birinchi yaqinlashishni topamiz:

y₁=y₀+∆y₀, bunda ;

Runge-Kutta usulidan foydalanib, quyidagilarni aniqlaymiz:

k₁=(y₀+x₀)h= 1.5•0.25=0.375;

k₂=[(y₀+k₁/2)-(x₀+h/2)]h=[(1.5+0.187)-0.125]•0.25=0.39;

k₃ =[(y₀+k₂/2)-(x₀+h/2)]= 0.392;

k₄ =[(y₀+k₃)-(x₀+h)]h= 0.41.

Bulardan ∆у₀ = (0.375 + 2 • 0.39 + 2 • 0.392 + 0,41) = 0,392.

Shunday qilib, у₁ = 1.5 + 0.392 = 1.892 va h.k.

Xulosa qilib shuni ta’kidlaymizki, bir qadamli Runge-Kutta usulidan 1–tartibli differensial tenglamalar sistemalarini yechishda foydalanish mumkin.

4–tartibli Runge-Kutta usuli bilan y'=x²+y² tenglamani yechish dasturi:

#include

#include

using namespace std;

int main()

{

const int n=5;

double a=0, b=1, h,x[n], y[n],y1[n],z[n],e[n],k0,k1,k2,k3;

h=(b-a)/n;

x[0]=0; y[0]=0;

for(int i=0;i

{

k0=pow(x[i]+y[i],2);

k1=pow(x[i]+h/2+y[i]+h/2*k0,2);

k2=pow(x[i]+h/2+y[i]+h/2*k1,2);

k3=pow(x[i]+h+y[i]+h*k2,2);

y[i+1]=y[i]+h/6*(k0+2*k1+2*k2+k3);

x[i+1]=x[i]+h;

}

for(int i=0; i

{

z[i]=tan(x[i])-x[i];

e[i]=fabs(z[i]-y[i]);

cout<Download 129,06 Kb.
Do'stlaringiz bilan baham: