Евклидовы пространства. Построение ортонормированного базиса в Евклидовом пространстве

Доказательство: По аксиоме 4) евклидова пространства справедливо


//так как квадратный трехчлен по неотрицателен дискриминант //
■
Определение 2. Линейное пространство называется нормированным, если определено правило, по которому ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) указанного элемента и обозначаемое , удовлетворяющее следующим трем аксиомам:
1) .
2) .
3) справедливо (неравенство треугольника или неравенство Минковского).
Теорема 2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму элемента определить равенством

Доказательство: Проверим свойства нормированного пространства: аксиома 1) следует из 4) евклидова пространства, 2) следует из аксиом 1) и 3) евклидова пространства, 3) следует из неравенства Коши–Буняковского. Действительно,

. ■
Примеры.
1) В пространстве геометрических векторов с обычным скалярным произведением неравенства Коши–Буняковского и Минковского имеют вид:
, .
Первое неравенство в силу означает, что , второе − что длина стороны треугольника не превосходят суммы длин двух других сторон.
2) В неравенства Коши–Буняковского и Минковского дают:

.
3) В с обычным скалярным произведением и имеем
неравенство Коши–Буняковского
;
неравенство Минковского
.
4) В со скалярным произведением с положительно определённой симметрической матрицей имеем
неравенство Коши–Буняковского
;
неравенство Минковского
.
Замечание. Если векторное пространство дано над полем , то аналогично строится теория унитарных (или эрмитовых) пространств. В этом случае аксиомы 1) и 4) принимают соответственно вид:
1) ,
4) и , если .
Отметим, что неравенство Коши–Буняковского в этом случае принимает вид:
.
В –мерном комплексном координатном пространстве C стандартное скалярное произведение векторов C задается формулой
.
2. Ортогональные и ортонормированные системы векторов.
Из неравенства Коши–Буняковского следует, что корректно можно ввести следующее