Empirik taqsimоt va uning хоssalari

§1. Empirik taqsimоt va uning хоssalari

Ma’lumki, ixtiyoriy ξ tasodifiy miqdorning ehtimollar taqsimoti uning taqsimot funksiyasi F(x)=P(ξ), orqali aniqlanadi. Har bir x da F noma’lum bo’lganligi sababli hodisalar ehtimolliklari turg’unligi xossasiga asoslangan holda {ξ} hodisa ehtimolini X⁽ⁿ⁾ tanlanma orqali uning nisbiy sanog’i bo’lgan emperik taqsimot bilan yaqinlashtirish mumkin. Emperik taqsimot funksiyani indikatotlar yordamida quydagicha aniqlaymiz

bu yerda I(A)-A hodisa indikatori. Demak v_n(x) sanoq x dan kichik bo’lgan X_i lar sonini bildiradi. funksiya X₁ ,X₂,..., X_n qiymatlarini ehtimollik bilan (agar X_i lardan biror k tasi ustma-ust tushsa, u holda bu qiymatni ehtimollik bilan ) qabul qiluvchi diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasidir. Har bir fiksirlangan x nuqtada bir hil binomial taqsimotga ega bo’lgan tasodifiy miqdorlarning o’rta arifmetik qiymatidan iborat bo’lganligi uchun uning matematik kutilmasiva dispersiyasi quydagicha aniqlashini ko’riah qiyin emas:
(1.1)
(1.2)
Demak, (1.2) ga asosan Chebeshev tengsizligidan kelib chiqadi, har bir x da tasodifiy miqdor ketma-ketligi sifatida F(x) ehtimollik bilan yaqinlashar ekan. Agar Borelning kuchaytirilgan katta sonlar qonuniga asoslansak, quydagi kuchli da’voga ega bo’lamiz.
1-Teorema. Tanlanma hajmi da 1 ehtimollik bilan limitga intiladi:
(1.3)
Bu yerda bir ehtimollik bilan yaqinlashish ( ^(∞), ^(∞), Р) uchligidagi Р=Р^(∞) taqaimotga nisbatan tushuniladi. (1.3) yaqinlashish har bir x nuqtada o’rinlidir. Ammo taqsimot uchun yuqoridagi teoremadan ham kuchli bo’lgan da’vo, ya’ni (1.3) yaqinlashish aslida barcha Glivenko-Kantelli teoremasi o’rinlidir.
2-Teorema (Glivenko-Kantelli). 1 ehtimollik bilan

Isboti : z_jm orqali x larning shunday eng kichik qiymatini belgilaymizki,
F(x)≤j/m≤F(x+0) tenglik o’rinli bo’lsin. quyidagi hodisalarni kiritamiz:
={ (z_jm) F(z_jm)}, ={ (z_jm+ 0) F(z_jm+ 0)},
1-Teoremaga asosan P( )=P( )=1. Agar = ∩ desak u holda
bu yerda F(x-0)=F(x), (x-0)= (x). Endi ikkilamchilik prinsipiga asoslansak, .
Bu erdan P(C_m )=1. Xuddi shu usul bilan C= hodisa uchun P(C)=1 ekanini ko’rsatish mumkin. Endi nuqtalar uchun va har bir z_jm<z_j+1,m uchun . Demak,

Bu yerdan ixtiyoriy m uchun

ekani kelib chiqadi.
Demak, P ≥P(C)=1.
Emperik taqsimot funksiyani X⁽ⁿ⁾ tanlanma elementlari tartiblansa, hisoblash uchun qulay ko’rinishda ifodalash mumkin. Buning uchun tanlanmaning X₁, X₂,...,X_n elementlarni o’sish tartibida joylashtiramiz va qaytadan nomerlab chiqamiz, Natijada biz quydagi variatsion qator deb ataluvchi to’plamga ega bo’lamiz:
(1.4)
Bu yerda


variatsion qatorni X_(i) elementi i - tartiblangan statistika (yoki varianta) deyiladi. Bunday qatorni amalda olingan tanlanma elementlari uchun ham yozish mumkin:
(1.5)
Endi (1.5) tanlanmadagi tengsizlikni to’plam yordamida (x) ni quydagi ko’rinishda yoza olamiz:



Demak, (x) grafigi zina shaklida siniq chiziqlardan iborat bo’lib har bir x_(i) nuqtada uning sakrash kattaligi ga teng ekan.