Emden Fauler tenglamalari asimptotikalari: finit, davom ettiriluvchi, davom ettirilmaydigan yechimlar

y" = P(x)W\ ^X U ^uchun ,
bu yerda p(x) funksiya uzluksiz. V, M va Evtuxov A = 1 va k + A = 1 uchun tenglamaning yechimlari uchun asimptotik formulalarni o'rnatdilar. p(x) funksiyaning silliqligi olib tashlanadi, mahalliy yig'indisi deb taxmin qilinadi . V, M, Evtuxov, p (x) < 0 va k > -1, A < 1 uchun, A = 0 uchun klassik natijalarni to'ldirib, barcha to'g'ri echimlarning tebranishi uchun etarli shart-sharoitlarni o'rnatdi. V, M, Evtuxov ham ko'rib chiqdi. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning ma'lum sinflari , ularning o'ng qismlarida Emden-Fauler tipidagi tenglamalarning nochiziqliliklariga qaraganda umumiyroq shakldagi chiziqli bo'lmaganlik mavjud, masalan,
Y" \ ^{u003d a} P ^(x) Po ⁽ Y ^)
( Y ^{>), a} = ± ^1,
bu yerda p(x) > 0 uzluksiz funksiya va
₀ , ~ ma’noda muntazam o‘zgaruvchan funksiyalar
Karamata, Ko'rib chiqilayotgan tenglamalar sinflari uchun tenglamalar yechimlarining ma'lum turlari mavjudligi uchun shartlar belgilanadi, ularning asimptotik ko'rinishi olinadi,
I, T, Kiguradze lim \y'(x)\ = +go va G R bo'lgan yuqori tartibli Emden-Fauler tipidagi tenglama (1) yechimlari mavjudligi uchun shartlarni oldi.
x^a-0
savol bu holda yechim ham cheksizlikka moyil bo'ladimi yoki x ^ a - 0 da chekli chegaraga moyil bo'ladimi, ya'ni ikkita holatni farqlash masalasi:
lim \y' (x)\ = +tho, lim \y(x)\ = +tho,
x ^ a - 0 x ^ a - 0
lim \y' (x)\ = +th, lim \y(x)\ < +th.
x^a— 0 x^a— 0
Ref V, M, Evtuxov bu savolga javob oldi.
(5) xossaga ega bo'lgan yechimlar quyidagi ko'rinishdagi tenglamalarda ham ko'rinadi:
(\y'\ ^-a )' + g(x) \y\ b = 0, ^a > 0, G R da.
Uzluksiz va musbat holatlardagi ushbu turdagi tenglamalar yechimlarining xossalarini o'rganish orqali

q(x) funksiyalar J, Yaros, T, Kusano tomonidan o‘rganilgan , (5) xossaga ega bo‘lgan yechimlar mavjudligi mualliflar tomonidan isbotlangan va bunday yechimlar qora tuynuk deb nomlangan. qarorlar

M, Kitano va T, Kusano (6) dan umumiyroq shakldagi tenglama hisoblanadi:
^(| yTsgn y')' + q^y^sgn y = 0, a ^, ^ > 0 ^,
bu yerda q(x) funksiya uzluksiz va tebranuvchi. Mualliflar yechimlarning global mavjudligi, tenglamaning tebranish va tebranmaydigan yechimlarining cheksizligidagi xatti-harakatlari masalalarini o'rganib chiqdilar. Yana umumiy kvazi chiziqli tenglama
⁽ P ⁽ x ^)| y' psgn y' ⁾ ' + q^ypsgny = ⁰
a, b > 0 uchun uzluksiz va musbat funksiyalar uchun p(x), q(x) , M, Naito ko‘rib chiqiladi.Unda sekin o‘sib boruvchi musbat yechimlar mavjudligi uchun zarur va yetarli shartlar olinadi, ning asimptotik harakati. asta-sekin o'sib borayotgan va asta-sekin kamayib borayotgan echimlar abadiylikda. a uchun, uzluksiz musbat funksiya p(x) uchun b > 1 . va uzluksiz manfiy funksiya q(x) Z, Dosla, M, Cecchi, M, Marini (7) tenglama yechimlarining mavjudligi va yagonaligi masalalari hamda yechimlarning cheksizlikdagi nolga moyilliklari o‘rganilib, ayrim turdagi yechimlar uchun asimptotik baholar olindi. a < b holatda tenglama (7). Z, Dosla va M, Marini tomonidan ko'rib chiqildi , bu erda mualliflar tenglamaning echimlari mavjudligi haqidagi savolni o'rgandilar va bir vaqtning o'zida bir nechta turdagi echimlarning mavjudligi muammosini o'rgandilar. a > b > 0 holidagi (7) tenglama J, Yaros, T, Kusano, J, Manojlovie tomonidan p(x), q(x) degan farazda ko‘rib chiqilgan. muntazam oʻzgaruvchanlikning umumlashtirilgan funksiyalaridir. Mualliflar yechimlar mavjudligi uchun zarur va yetarli shart-sharoitlarni oldilar, eritmalarning asimptotik harakatini o‘rgandilar. E.mden Fauler tenglamasining quyidagi umumlashtirilishi yechimlarining asimptotik xossalari :
⁽ p ^(x) y' ^(x)) ' = p ^{(x) f (} y ^(x)),
f (t) funktsiyasi Lipschitz bo‘lib, kamida ikkita nolga ega, p(x) funksiya [0, +th) da uzluksiz, (0, +th) da musbat hosilaga ega va p(0) = 0, o‘rganilgan. I.Rachunkova f (t), p (x) funktsiyalari bo'yicha shartlarni qo'lga kiritdi, bu esa tebranuvchi eritmalarning cheksizlikda nolga moyilligini ta'minlaydi,
Ishda J. Burkotova, M. Hubner, I. Raelrnnkova, B. Weinmtiller tenglamaning umumiy shaklini ko'rib chiqdilar:
⁽ p ⁽ x) y' ⁽ x) Y + q ^{(x) f (} y ^(x)) = 0 ^,
Bu erda f, p muntazam o'zgaruvchanlik funktsiyalari va f kamida uchta nolga ega f (L ₀ ) = f (0) = f (L) = 0, Lo < 0 < L. Biz ko'rib chiqilayotgan tenglamaning Kneser yechimlari ( ta'rifni birinchi marta I, T, Kiguradze tomonidan kiritilgan ) mavjudligi masalasini o'rganamiz va asimptotik xatti-harakatni o'rganamiz. Kneser eritmalari va ularning cheksizlikdagi birinchi hosilalari. Chegaraviy masalalar yechimlarining mavjudligi, o‘ziga xosligi va ularning xossalarini o‘rganish ikkinchi tartibli chiziqli bo‘lmagan differensial tenglamalar yechimlarining sifat va asimptotik xossalarini o‘rganishda ham qo‘llaniladi , lekin u chegaradan tashqariga chiqadi . dissertatsiyada ko‘rib chiqilgan muammo. Chegaraviy masalalarni yechish va yechimlar xossalarini oʻrganishning turli usullari I, T, Kiguradze, B, L, Shekhter, A, G, Lomtatidze, L, Malaguti, N, Partsvania, F, Sadvrbaev, I asarlarida keltirilgan. , Raetrnnkova va boshqalar.
Yuqori tartibli Emden Fauler tipidagi tenglamaga qaytaylik.I, T, Kiguradze va T, A, Chanturiya tadqiqotlarining davomi sifatida, I, V, Astashova (monografiyada sharhga qarang) tenglama uchun ishlarida. (1) o'zgaruvchan yechimlar mavjudligi isbotlangan, vertikal asimptotali, quvvat asimptotikasiga ega bo'lgan yechimlar, juft tartibli tenglamalar uchun esa kuch asimptotikasiga ega bo'lgan Kneser yechimlari; uchinchi va toʻrtinchi tartibli tenglamalar uchun I, T va Kiguradzening taxmini vertikal asimptotaga ega boʻlgan barcha yechimlar asimptotikaning kuch qonuniga ega ekanligi tasdiqlandi; to'rtinchi tartibli tenglamalar uchun barcha Kneser yechimlari kuch qonuni asimptotikasiga ega; uchinchi tartibli tenglama uchun asimptotalar pozitsiyasining yechimlarning boshlang'ich shartlariga uzluksiz bog'liqligi, shuningdek, berilgan ta'rif sohasiga ega bo'lgan maksimal kengaytirilgan yechimlarning mavjudligi isbotlangan; uchinchi tartibli tenglama uchun yechimlarning bir xil baholari olinadi. U- tartibli kvaziliziqli tenglamalar uchun (u > 2) umumiy taʼrif sohasiga ega boʻlgan, tenglamalar koeffitsientlarini baholashga bogʻliq boʻlgan va koeffitsientlarning oʻziga bogʻliq boʻlmagan musbat yechimlarning yagona baholari mavjudligi isbotlangan. ; barcha eritmalarning tebranish xususiyatining mezoni olinadi; Ikkinchi tartibli kvaziziiqli tenglamalarning barcha kengaytirilmaydigan yechimlarining asimptotik harakati tasvirlangan,
Bundan tashqari, I, V, Astashova asarlarida ³¹ > ³² > ³³ > ³⁴ d _L i n = 3, p = . p(x) va n = 4, p ₌ p0 (1) tenglama yechimlarining asimptotik tasnifi muntazam (k > 1) va birlik (0 < k < 1) nochiziqlik holatlarida olinadi. 0 < k < 1 holatda klassik borliq teoremasining shartlari va (1) tenglama uchun Koshi masalasining yagona yechimi qanoatlanmasligini ta’kidlaymiz. Biroq, quyidagi bayonot haqiqatdir: