Эллиптик турдаги тенгламалар. Чегаравий масалалар Режа

Эллиптик турдаги тенгламалар. Чегаравий масалалар


Режа:

1. 
   Содда эллиптик турдаги тенгламалар.
   
2. 
   Асосий тушунчалар ва таърифлар.
   
3. 
   Лаплас тенгламасига қўйилган асосий чегаравий масалалар.
   

Таянч тушунчалар: Чегараланган соҳа, гармоник функция ,нуқтада гармоник функция, Дирихленинг ички масаласи, Дирихленинг ташқи масаласи, Нейманнинг ички масаласи, Нейманнинг ташқи масаласи, аралаш масала.

Энг содда эллиптик типдаги тенгламалардан:

1. Лаплас тенгламаси:
(1)
2. Пуассон тенгламаси:

3. Гельмгольц тенгламаси:

Биз – п ўлчамли фазода эллиптик типдаги тенгламаларга қўйиладиган чегаравий масалаларни ўрганамиз. Бунинг учун қуйидаги белгилашларни киритамиз:

векторлари


,

– скаляр кўпайтма.

масофа. Маркази нуқтада радиуси r бўлган

сфера тенгламаси. Маркази нуқтада радиуси r бўлган K(x,r) шар тенгламаси:

соҳа чегараланган дейилади, агар R>0, бўлса, акс ҳолда D соҳа чегараланмаган бўлиб, чексиз узоқлашган нуқтани саклайди. Бир боғламли ёпиқ сирт фазони иккита соҳага: - ички, ташки соҳаларга ажратади. Бу ерда чексиз узоқлашган нуқтани сақлайди. Агар қаралаётган соҳанинг чегараси, яъни бўлса, у ҳолда нуқтада ўтказилган ташқи нормал вектор деб





D соҳадан чиқувчи

йўналтирувчи косинусга эга бўлган бирлик векторни тушунамиз.

Таъриф 1. Лаплас тенгламасини қаноатлантирувчи

функцияга D – соҳада гармоник функция дейилади.

Таъриф 2. Агар функция фазо чекли нуқтасининг етарли кичик атрофида гармоник бўлса, уни шу нуқтада гармоник дейилади. Агар функция чексиз D соҳанинг координата бошидан чекли масофада ётган иҳтиёрий х нуқтасида гармоник бўлиб, етарли катта лар учун

тенгсизлик бажарилса, функция чексиз D соҳада гармоник дейилади. Энди Лаплас тенгламаси учун асосий чегаравий масалаларнинг қўйилиши билан танишамиз:
1) Биринчи чегаравий масала ёки Дирихленинг ички масаласи:

2) Иккинчи чегаравий масала ёки Нейманнинг ички масаласи:

3) Дирихленинг ташқи масаласи:

бўлиб,


да
тенгсизлик бажарилади. п=2 ҳолда да чекли лимитга интилади.

1. 
   Нейман ташқи масаласи:
   

n>2 бўлганда

n=2 ҳолда

5) Аралаш масала (учинчи чегараланган масала):

.

Бу ерда ва f(x) лар чегарада берилган бўлакли узлуксиз функциялар бўлиб,

.

Хусусий ҳосилаларни кўриб чиқамиз:

1) - Дирихле ёки биринчи чегаравий масала.

2) - Нейман ёки иккинчи чегаравий масала.

3) - учинчи тур чегаравий масала.

Ҳудди шундай чегаравий масалаларни Пуассон

ва Гельмгольц

тенгламалари учун ҳам қараш мумкин.

Ушбу

ёки фазода тенгламанинг ечими чексизликда нурланиш принципини қаноатлантириши керак.


n=3


фазода эса,
.

Адабиётлар


1.Салоҳитдинов М.С., Математик физика тенгламалари, Т., «Ўзбекистон», 2002.
2.Владимиров В.С., Уравнения математической физики, М, «Наука», 1981.
3.Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики, М, «Наука», 1977.