Elliptik orbitalarni kvantlash

Aim.uz

Elliptik orbitalarni kvantlash
Doiraviy orbitalar yadroning Kulon maydonida harakatlanayot-gan elektron orbitalarining xususiy holi hisoblanadi. Elektronlar harakatining orbitalari umumiy holda elliptik orbitalar deb qaraladi.

Ch.Vilson va A.Zommerfeld tomonidan kvantlash qoidasi elliptik orbitalar uchun umumlashtirildi. Erkinlik darajasi j bo‘lgan mexanik tizim umumlashgan koordinata q_i(i=1,2,...,j) va umumlashgan impuls R_i bilan ifodalanadi.

	Pi	Еk	(4.40)
		&
Ek		qi	– umumlashgan
	– tizimning kinetik energiyasi, qi
		&

koordinatalarning vaqt bo‘yicha hosilasi.

Agar tizim j erkinlik darajasiga ega bo‘lsa, uning harakatiga n_i(i =1,2,3,...) kvant sonlari yordamida j kvantlash shartlari qo‘yiladi.Bu kvant shartlar quyidagi ko‘rinishdadir:

òidqi2hni(ni=1,2,3,...,i=1,2,3,…,j),

(4.41)

(4.41) ifodada umumlashgan koordinatalar q_i sifatida shunday koordinatalar olinadiki, ularda har bir P_i impuls faqat umumlashgan q_ikoordinatalarga tegishli funksiya hisoblanadi. Integral sohasisifatida tegishli o‘zgaruvchining barcha o‘zgarish sohasi olinadi. (4.41) shart tizimning harakatini kvantlashga imkon beradi.
Vodorodsimon atom elliptik orbitalarining kvantlashini quyidagicha qarash mumkin: umumlashgan koordinata sifatida qutb burchagi  va r – elektronning zaryadi Ze bo‘lgan yadro turgan joyga to‘g‘ri keladigan koordinata boshidan elektron o‘zi turgan nuqtasigacha bo‘lgan masofa olinadi. Koordinatalar boshida joylashgan zaryadi Ze bo‘lgan yadro joylashgan deb hisoblanadi. U vaqtda tizimning kinetik energiyasi:

Ek				1		(4.42)
		2m(r	2	2 2	)
				 r 

Umumlashgan impuls esa:

		Ek	2
P			 mr  const ,	(4.43)
		
^Pr		Ek	&	(4.44)
		&	 mr .
		r

P_ning doimiy bo‘lishining sababi ta’sir etuvchi kuchlarmarkaziy kuchlar ekanligidir. Energiyaning saqlanish qonuniga

101

asosan elektronning yadro maydonidagi to‘liq energiyasini quyidagicha yozish mumkin:
E  E_k Ze²/(4₀r)(P_r² P_²/ r) /(2m) Ze²/(4₀r). (4.45)
Tizim tekis harakat qilgani uchun ikkita erkinlik darajasiga ega, u vaqtda kvantlash sharti ham ikkita bo‘ladi:

ò Р d2hn,	(4.46)
ò Pr dr 2hnr.	(4.47)

Bunda n_ – azimutal, n_r – radial kvant sonlar deyiladi, P_r – radial impuls, P_ – azimutal impuls.

P=L=const,	(4.48)
bo‘lishi shartidan
P=L=nħ,	(4.49)

ekanligi kelib chiqadi. (4.49) formulada  ning 0 dan 2 gacha o‘zgarishi hisobga olingan. (4.47)dagi radial kvantlashni bajarish uchun umumlashgan impuls P_r ni r funksiyasi sifatida ifodalash kerak:

P (A 2B / r  c / r ^2)^1/ 2.				(4.50)
r
Bunda
A 2mE; B  mZe^2/(4	0	);	C  n^2h^2.	(4.51)
			
Shuning uchun (4.49) formulada keltirilgan radial kvantlash
shartini quyidagi ko‘rinishda ifodalash mumkin:
òA 2B / r  c / r^2^1/ 2 dr 2hnr,				(4.52)

(4.52) formula integrallash chegarasi r ning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlarini o‘z ichiga oladi. r ning minimal va maksimal qiymatlarida integral tagidagi ifoda nolga aylanadi. Buning ma’nosi shundan iboratki, bu nuqtalarda elektronning yadroga maksimal yaqinlashishi va yadrodan maksimal uzoqlashishida elektronning radial tezligi nolga aylanadi. Natijada radial impuls P_r ham nolga
aylanadi, ya’ni P_rmr&0 bo‘ladi.
(4.52) ifodadagi integral odatdagidek hisoblanadi:
_ò( A 2B / rc / r² )^{1/ 2}dr2i(c  B / A); (i 1) . (4.53)Shunday qilib,

102

4.10-rasm

Ze^2			m		 (nnr )h .	(4.54)
40
			2mE

Bundan esa n chi elliptik orbitadagi elektronning energiyasi aniqlanadi:

E

n



Z ^2e^4m

1



Z ^2e^4m

.

(4.55)

32^2^20h^2 (n

r

 n )^2

32^2^2h^2n^2



0

(4.55) formula elektron orbitalari elliptik bo‘lganda atom stasionar holatining energiyasini ifodalaydi. Bu formulada n butun musbat son bo‘lib, n=n_ +n_r deb olingan. n bosh kvant son deyiladi. Elliptik orbitalar uchun yozilgan (4.55) ifodani doiraviy orbitalar uchun yozilgan (4.31) ifoda bilan taqqoslashdan ko‘rinadiki, elliptik orbitalar uchun ham energiya qiymati doiraviy orbitalar uchun bo‘lgan energiya qiymatidek bo‘ladi. Farqi faqat shundaki, doiraviy orbitalar holidagi kvant soni (n), elliptik orbitalarda azimutal (n_) va radial (n_r) kvant sonlari yig‘indisiga teng bo‘ladi. Mumkin bo‘lgan ko‘p sondagi ellipslardan (4.46) va (4.47) kvantlash shartlari orqali o‘lchami va shakli n_ hamda n_r kvant sonlari bilan topiladigan aniq ellipslar ajratiladi.

n nr const

(4.56)

bo‘lgan barcha ellipslar aniq doiraviy orbitalarga energiya jihatidan ekvivalent bo‘ladi.

Shunday qilib, kvantlash qoidasi yordamida elliptik orbitalarda harakatlanayotgan elektron energiyasi (4.55) formula orqali aniqlanar ekan. (4.46) va (4.47) formulalar elliptik orbitalarni kvantlash qoidalarini ifodalaydi.