Элементы динамического программирования оптимизация непрерывных систем

ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Оптимизация непрерывных систем.

Выше говорилось о существовании обширного клас­са экономических и технических задач, в которых необ­ходимо отыскать управление, представляющее собой некоторый многошаговый процесс принятия решения. Примером таких многошаговых процессов является управление дискретными системами, изменяющими свое состояние в соответствии с принятым управлением в не­которые дискретные моменты времени. Для решения задач оптимизации в таких системах предложен разра­ботанный Р. Беллманом метод, получивший название динамического программирования.

Б основу метода положен интуитивно очевидный принцип, названный принципом оптимальности. В соот­ветствии с этим принципом оптимальное управление определяется конечной целью управления и состоянием системы в рассматриваемый момент времени.

Приведем формулировку принципа оптимальности. Оптимальное поведение обладает тем свойством, что ка­ковы бы ни были первоначальное состояние и решение е начальный момент, последующие решения должны со­ставлять оптимальное поведение относительно состоя­ния, получающегося в результате первого решения.

При использовании этого принципа оказывается воз­можным исходную сложную проблему отыскания много­шагового управления заменить последовательным ре­шением некоторого количества существенно более про­стых одношаговых задач оптимизации.

Смысл принципа оптимальности становится более ясным, если понять, что для любой оптимальной траек­тории каждый ее участок, связывающий любую проме­жуточную точку этой траектории с конечной, также является оптимальной траекторией.

Применим принцип оптимальности для оптимизации управления в непрерывных системах.

Рассмотрим задачу о минимизации функционала

(14.1)

для системы, поведение которой описывается совокупно­стью дифференциальных уравнений вида.

(14.2)

В соотношениях (14.1) и (14.2) использованы сле­дующие обозначения: — вектор из области допустимых значений параметров системы, характеризующий состоя­ние системы в данный момент времени; — вектор управления из области допустимых управлений Ω, В начальный момент времени t= 0, =_н, время Т фиксировано.

Пусть в некоторый момент времени 0<τ<Т состоя­ние системы характеризуется вектором (τ). Начиная с момента времени τ, в течение временного интервала продолжительностью Δτ используем некоторое произ­вольное управление u_Δ (t) Ω. Тогда в соответствии с (14.2) в момент времени τ + Δτ система будет нахо­диться в точке

Будем считать теперь, что, начиная с момента времени τ + Δτ и до конца, т.е. до t = T, используется опти­мальное управление