Электропроводность полупроводников

Эффективные плотности состояний рассчитываются по формулам:

(3.2)

(3.3)

где m_n, m_p – эффективные массы электрона и дырки соответственно, кг;
h – постоянная Планка.

Физический смысл понятия «плотность энергетических состояний» – это число состояний, приходящихся на единичный интервал энергии, или плотность состояний.

Как следует из (3.1), с увеличением температуры собственные концентрации электронов и дырок растут по экспоненциальному закону.

Энергетическая диаграмма собственного полупроводника показана на рисунке 3.3. Электроны обозначены черными кружками, а дырки – белыми. Распределение электронов по уровням энергии соответствует некоторой температуре Т, при которой в зону проводимости перешло несколько электронов, образовав в валентной зоне соответствующее количество дырок.

Рисунок 3.3 – Энергетическая диаграмма собственного полупроводника
Как уже отмечалось, специфика собственного полупроводника состоит в том, что равновесная концентрация электронов и дырок одинакова (n_i = p_i). Тогда общее число свободных носителей заряда в единице объема собственного полупроводника будет равно 2n_i. Под действием внешнего электрического поля с напряженностью Е в нем возникает направленное движение этих зарядов, т.е. электрический ток. В его создании принимают участие как электроны, так и дырки. Ток, создаваемый электронами, можно найти по формуле:

(3.4)

где Q_n – суммарный заряд, переносимый электронами за время t через поперечное сечение полупроводника S, перпендикулярное направлению электрического поля;
е – заряд электрона;
n_i – концентрация электронов в зоне проводимости, т.е. число электронов в единице объема;
V – объем электронов, проходящий через сечение S за время t;
l – длина объема V в направлении движения электронов;
_n  – средняя скорость упорядоченного движения электронов (дрейфовая скорость).
Плотность тока J_n, создаваемая электронами, будет равна:

(3.5)

Средняя скорость электронов пропорциональна напряженности поля:

(3.6)

Коэффициент пропорциональности μ_n называется подвижностью электронов, он имеет размерность м²/(В*с). Физический смысл подвижности – это дрейфовая скорость, приобретаемая электроном в поле единичной напряженности. 
Тогда плотность тока:

(3.7)

где  – удельная электронная проводимость собственного проводника.
Аналогично для дырочной проводимости:

(3.8)

где  – удельная дырочная проводимость собственного проводника;
p_i – концентрация дырок в валентной зоне;
μ_p – подвижность дырок.
Учитывая, что в собственном полупроводнике электрический ток обусловлен движением как электронов, так и дырок, суммарная плотность тока:

(3.9)

Тогда удельная проводимость собственного полупроводника:

= ,

(3.10)

а удельное сопротивление будет равно:

(3.11)

Таким образом, при любой температуре материала в состоянии термодинамического равновесия устанавливается равновесная концентрация возбужденных носителей заряда:

(3.12)

где ΔW – ширина запрещенной зоны полупроводника;
C_n, C_p – постоянные величины для концентрации электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне.
Коэффициент, равный 2, в знаменателе показателя экспоненты объясняется следующим соображением. В собственном полупроводнике для перехода электрона с верхнего уровня валентной зоны на нижний уровень зоны проводимости затрачивается энергия активации, равная ширине запрещенной зоны ΔW. При появлении электрона в зоне проводимости в валентной зоне обязательно появляется дырка, т.е. энергия ΔW затрачивается на образование пары носителей заряда.
Подвижности электронов μ_n и дырок μ_p имеют различное значение. Электроны и дырки обладают разной инерционностью при движении в поле кристаллической решетки полупроводника, т.е. отличаются друг от друга эффективными массами  и  . В большинстве случаев  <  . Поэтому собственная электропроводность полупроводников имеет слабо выраженный электронный характер.
Переход электрона с одного энергетического уровня на другой носит вероятностный характер, поэтому обычно оценивается вероятность нахождения электрона на каком-либо уровне W при температуре Т.
Распределение электронов по энергетическим уровням в твердом теле при некоторой постоянной температуре Т описывается статистикой Ферми-Дирака. С помощью статистики Ферми-Дирака можно определить концентрацию электронов в зоне проводимости дырок в валентной зоне и определить зависимость удельной электропроводности полупроводника от температуры, наличия примесей и других факторов.
Вероятность заполнения электроном энергетического уровня W при температуре Т определяется функцией распределения Ферми:

(3.13)

где Т – абсолютная температура;
k – постоянная Больцмана;
W_F – энергия уровня Ферми.