Ekvivalentlik va tartib munosabatlari

. . . , - 3 m+2, -2m+2, -m+2, 2, m+2, 2m+2, 3m+2,...; {mq+2}=C₂
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . , -2 m - 1, - m -1, -1, m-1, 2m-1, 3 m-1, 4 m-1,...; {mq+m-1}=C_m-

Shunday qilib , Z= C₀  C₁  C₂  ... . C_m-1 .

С_i ning har bir elementiga shu sinfning chegirmasi deyiladi.(1) dagi ekviva- lentlik sinflar to'plami {C_a , C_b , C_c , ... } ga faktor-to'plam deyiladi va А/R ko'rinishda belgilanadi. Demak, A/R ={C_a , C_b , C_c , ... }.
Yuqorida keltirilgan misolimizda faktor-to'plam Z={C₀ , C₁ ,C₂ , ..., C_m-1} bo'lib o'nga m moduli bo'yicha chegirmalar sinflari to'plami deyiladi.
Agar m moduli bo'yicha chegirmalar sinflarining har biridan birtadan
chegirma olib sistema tuzsak hosil bo'lgan sistemaga m moduli bo'yicha chegirmalarning to'la sistemasi deyiladi. Masalan, {0,1 , 2 , . . . , m-1}.
Agarda m moduli bo'yicha chegirmalarning to'la sistemasidan m bilan o'zaro tublarini olib sistema tuzsak hosil bo'lgan sistemaga m moduli bo'yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi deyiladi. Masalan: m=6 bo'lsa, {1, 5}.
2). N- natural sonlar to'plamini qaralayetgan sonning tub yoki (murakkab) tub emasligi bo'yicha faktorizasiyalash mumkin.
3). Barcha ko'pburchaklar to'plami М ni ko'pburchak tomonlari soni bo'yicha ekvivalent sinflarga ajratish mumkin.
4). Turtburchaklar to'plamida ekvivalentlik munosabatini tomonlarning parallellik tushunchasi sifatida kiritsak, uchta sinf: paralellogrammlar, trapesiyalar va hech qanday ikki tomoni parallel bo'lmagan turtburchaklarga ega bo'lamiz.
Matematika va uning tadbiklarida tartib munosabati deb ataluvchi munosabat muhim ahamiyatga ega. Ikki sonni Miqdori bo'yicha, odamlarning yoshlari bo'yicha, kitoblarni javonda terilishi bo'yicha taqqoslaganda biz tartib munosabatga duch kelamiz.
2-tarif. A to'plamdagi antisimmetrik va tranzitiv munosabat shu tuplamdagi tartib deyiladi.
Tartib munosabati kiritilgan to'plamlarga tartiblangan To'plamlar deyiladi.
Agar А to'plamda aniqlangan  tartib munosabati refleksiv bo'lsa, o'nga qatiy emas tartib munosabati, agar antirefleksiv bo'lsa esa qatiy tartib munosabati deyiladi.
3-ta'rif. А to'plamda aniqlangan  tartib munosabati bog'langan bo'lsa, ya'ni А ning ixtiyoriy x, y elementlari uchun xy yoki x=y yoki yx munosabatlardan biri, faqat biri bajarilsa,  ga chiziqli tartib munosabati deyiladi.
Chiziqli bo'lmagan tartib munosabati odatda qisman tartiblanganlik
munosabati deb yuritiladi.
Misollar.1).Sonlar To'plamida aniqlangan kichik emaslik ()munosabati qisman tartib munosabati bo'ladi.
2). Natural sonlar to'plamida aniqlangan qoldiqsiz bo'lish munosabati ham qisman tartib munosabati bo'ladi.
3). Butun sonlar to'plamida aniqlangan qoldiqsiz bo'linish munosabati esa tartib munosabati emas, chunki a/b va b/a dan a=b kelib chikmaydi.
4-ta'rif. Qisman tartiblangan А to'plamning а elementi uchun ах (х а) munosabat А to'plamdagi barcha х lar uchun bajarilsa, а ga А to'plamning eng kichik elementi (eng katta) deyiladi.
Qisman tartiblangan to'plamlar umuman olganda eng kichik yoki eng katta elementga ega bo'lmasligi mumkin. Tartib munosabati odatda  orqali belgilanadi.