Ekstremumlar teoriyasınıń geometriya, mexanika, hám fizika máselelerine nátiyjeni ámelde qollanıwları

Ekstremumlar teoriyasınıń geometriya, mexanika, hám fizika máselelerine nátiyjeni ámelde qollanıwları

REJЕ:

Funksiyalardıń ekstremumları

Ekstremum ámeldegi bolıwınıń zárúrli shárti

Ekstremum ámeldegi bolıwınıń jetkilikli shártleri.

Funksiyalardıń kesmadagi eń úlken hám eń kishi bahaları

Funksiyalardıń ekstremumları

1-tariyp. Eger funksiya qandayda bir noqatda úzliksiz bolıp, sol noqattıń sonday átirapı ámeldegi bolsaqı, ol átiraptıń barlıq noqatları ushın bul

(1)

teńsizlik atqarılsa, ol halda noqat ƒ (x) funksiyanıń minimum noqatı dep ataladı ; ƒ () bolsa ƒ (x) funksiyanıń minimumı dep ataladı.

2-tariyp. Eger ƒ (x) funksiya qandayda bir noqatda úzliksiz bolıp, sol noqattıń sonday átirapı ámeldegi bolsaqı, ol átiraptıń barlıq noqatları ushın bul

ƒ (x) <ƒ () (2)

teńsizlik atqarılsa, ol halda noqat ƒ (x) funksiyanıń maksimum noqatı dep ataladı ; ƒ () bolsa ƒ (x) funksiyanıń maksimumi dep ataladı.

3-tariyp. ƒ (x) funksiyanıń minimum yamasa maksimum noqatları onıń ekstremum noqatları dep ataladı, ƒ (x) funksiyanıń minimumı yamasa maksimumi onıń ekstremumı dep ataladı.

4-tariyp. Eger ƒ (x) funksiya (a, b) intervalda anıqlanǵan hám úzliksiz, xo noqat (a, b) intervaldıń (yamasa [a, b] kesmaning [a, b) (a, b] yarım intervallardıń ) qandayda bir noqatı bolıp, sol intervaldıń xo den ayrıqsha barlıq noqatları ushın bul ƒ (x) <ƒ (xo) teńsizlik atqarılsa, ol halda ƒ (xo) berilgen ƒ (x) funksiyanıń (a, b) intervalda eń úlken ma`nisi dep ataladı ; eger ƒ (x) >ƒ (xo) teńsizlik atqarılsa, ƒ (xo) berilgen ƒ (x) funksiyanıń (a, b) intervalda eń kishi ma`nisi dep ataladı.

Y

1

X 1

-1

0

1-shizma

2-shizma

Álbette tariypda keltirilgen teńsizliklerdi (a, b) den alınǵan barlıq x noqatlarda tekserip shıǵıw hámme waqıt ańsat bo'lavermaydi. Birpara ápiwayı funksiyalar ushın bul tariypga mısallar kóreylik.

ƒ (x) = funksiyanıń anıqlanıw tarawı [-1, 1] kesmadan ibarat. Sol kesmaning shettegi noqatlarında, yaǵnıy x =-1, x =+1 de funksiyanıń ma`nisi nolǵa teń; ishki noqatlarında bolsa, >0. Biraq x dıń ma`nisi absolyut ma`nisi boyınsha azayǵan tárepke funksiyanıń ma`nisi orta baradı, x=0 bolǵanda bolsa ol óziniń eń úlken ma`nisine, yaǵnıy 1 ge erisedi.

ƒ (x) = funksiya ushın anıqlanıw tarawdıń: (-1, 1). Bul funksiya bólimi| x|=1 bolǵanda nolǵa, sonday eken ƒ (x) funksiyanıń ma`nisi + ga ıntıladı. Biraq berilgen funksiya bahaları tarawı [1, ) yarım intervaldan ibarat bolıp, funksiyanıń eń úlken ma`nisi bul tarawǵa tiyisli bolmaydı, usınıń menen birge ol qálegenshe úlken muǵdar bolıp tabıladı.

Tikkeley tekserip kóriw múmkin, 1-mısalda funksiyanıń eń kishi ma`nisi 0, 2-mısalda bolsa funksiyanıń eń kishi ma`nisi 1 boladı.

5-tariyp. Eger [a, b] kesmada úzliksiz bolǵan ƒ (x) funksiya ushın sol kesmaning bir neshe ishki noqatı :

1) maksimum noqatı bolsa, ol halda ƒ (x) dıń sol noqatlarındaǵı bahaları hám ƒ (a), ƒ (b) bahalarınıń eń úlkeni ƒ (x) funksiyanıń [a, b] kesmadagi eń úlken ma`nisi dep ataladı.

2) minimum noqatı bolsa, ol halda ƒ (a), ƒ (b) bahalarınıń eń kichigi ƒ (x) funksiyanıń [a, b] kesmadagi eń kishi ma`nisi dep ataladı.

Qosımsha retinde sonı aytamizki, eger ƒ (x) funksiyanıń anıqlanıw tarawı (a, b) intervaldan (yamasa yarım intervallar (a, b],[a, b) den) ibarat bolsa, ol halda 5-tariypda ƒ (a) hám ƒ (b) lar ornına hám muǵdarları alınadı.

Ferma teorimasi. ƒ (x) funksiya qandayda bir (a, b) intervalda anıqlanǵan hám úzliksiz bolıp sol intervaldıń qandayda bir xo noqatında óziniń eń úlken yamasa eń kishi ma`nisine eriwsin. Eger ƒ' (xo) tuwındı ámeldegi bolsa, ol halda sol tuwındı nolǵa teń boladı, yaǵnıy ƒ' (xo) =0.

Tastıyıqı. Anıqlıq ushın ƒ (x) funksiya xo noqatda óziniń eń úlken ma`nisine eriwsin deylik, yaǵnıy Bunnan eger xo bolsa,

(3)

Eger x>xo bolsa,

(4)

teńsizliklerdi jazıw múmkin. Teorimaning shártiga kóre, ƒ' (xo) tuwındı bar. Sol sebepli (3) teńsizlikten de ni (4) den de ni payda etemiz. Bul eki munasábetten f' (xo) =0 ekeni shıǵadı. Teorima tastıyıq boldı.