Ekonometrika asoslari

9.2.2. Iste'mol tanlovi masalasi, uning yechimi va xossalari

Iste 'mol tanlovi masalasi (iste'molchining bozordagi ratsional xatti-harakati masalasi) iste'molchining foydalilik funktsiyasiga berilgan byudjet cheklovida

maksimal qiymat beruvchi (x,⁰, x₂) iste'mol to'plamini tanlashdan iborat.

Byudjet cheklovi mahsulotlarga pul xarajatlari pul daromadidan oshmasligini, ya'ni p_xx_x + p₂x₂ < I ekanligini anglatadi, bu yerda p_x va p₂

— mos ravishda birinchi va ikkinchi mahsulotlar bir birligining bozor narxlari, / esa —iste'molchining birinchi va ikkinchi mahsulotlarni sotib olish uchun sarflashga tayyor bo'lgan daromadi. p_x, p₂ va / kattaliklar berilgan bo'ladi. Formal ravishda iste'mol tanlovi masalasi quyidagi ko'rinishga ega:

p_xx_x+p₂x₂

x_l > 0, x₂>0

shartlarda

u(x_l9 x₂) (max).

Iste'mol tanlovi masalasining yechimi bo'luvchi (jsq, x₂ ) to'plamni

iste'molchi uchun optimal yechim yoki iste'molchining lokal bozor muvozanati deb atash qabul qilingan.

Ushbu qo'yilishda iste'mol tanlovi masalasini yechish Chiziqsiz programmalash masalasiga olib keladi. Biroq, agar biror-bir (л^-,, x₂) iste'mol

to'plamida p_xx_x + p₂x₂ < I byudjet cheklovi qat'iy tengsizlik ko'rinishda

bajarilsa, u holda biz mahsulotlardan birining iste'molini va shu tariqa foydalilik funktsiyasini ko'paytirishimiz mumkin. Demak, foydalilik funktsiyasiga maksimal

qiymat beruvchi (x,⁰, x₂) to'plam byudjet cheklovini tenglikka aylantirishi, ya'ni

p_xx^ + p₂x₂ = / bo'lishi kerak.

Biz, shuningdek, (x,⁰, x₂) optimal nuqtada x, > 0, x₂ > 0 shartlar

u{x_x, x₂) funktsiyaning xossalaridan kelib chiqib avtomatik ravishda bajariladi

deb hisoblaymiz. Odatda, bu haqiqatan ham shunday. Ayni bir paytda, agar o'zgaruvchilarning nomanfiyligi shartlari masala shartiga oshkor holda qo'shilmasa, u holda ushbu masala matematik jihatdan ancha sodda holga keladi. Demak, iste'mol tanlovi masalasini

Pi^xi +P2X2 = I

shartda

u{x_x, x₂ ) (max)

ko'rinishdagi shartli ekstremumni topish masalasi bilan almashtirish mumkin

(chunki bu ikki masalaning (x,°, x₂ ) yechimi bir xil).

Bu shartli ekstremumni topish masalasini yechish uchun Lagranj usulidan foydalanamiz.

L(x_x ,х₂,Л) = u(x_x ,x₂) + A(p_xx_x + p₂x₂ — /) Lagranj funktsiyasini yozib, uning x,, x₂, Я o'zgaruvchilar bo'yicha birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz va ularni nolga tenglaymiz:

EKONOMETRIKA ASOSLARI 3

O'quv qo'llanma 3

⁼И^хг у,- 28

у = a + Ъ_х -x_x +b₂ -x₂ + ... + b -x +s, 95

u(Xj) = y/>0, i=l,2,.... n 176

(-] UJ 200

Hosil qilingan uch nomaTumli uchta tenglamalar sistemasidan Я noma'lumni yo'qotib, ikki x_x, x₂ nomaTumli

«I_ ₌ Pi_ u'₂ p₂ '

Pl^Xl + P2^X2 ⁼ I'

ikkita tenglamalar sistemasini hosil qilamiz va undan iste'mol tanlovi masalasining (jsq, x₂) yechimini topamiz.

Iste'mol tanlovi masalasi (jq , x₂) yechimining x_x va x₂ koordinatalari p_x, p₂ va / parametrlarning funktsiyalaridir:

x_l = x_l (p_x

⁰ — °f ТЛ

^X2 ~ ^X2 \Pl> Pi>¹) ■

Hosil qilingan funktsiyalar birinchi va ikkinchi mahsulotga talab funktsiyalari deb ataladi. Talab funktsiyalarining muhim xossasi narxlar va daromadga nisbatan ularning nolinchi darajadagi bir jinsliligidir, ya'ni talab funktsiyalarining qiymatlari narxlar va daromadning proportsional o'zgarishiga nisbatan invariantdir: ixtiyoriy a > 0 son uchun

(ap_l, ap₂, al) = x° (p_x ,p₂,1),

x₂ (ap₁, ap₂, al) = x₂ (p_l ,p₂,I)

o'rinlidir. Bu barcha narxlar va daromad aynan bir xil birlikka (martaga) o'zgarsa ham, (birinchisi yoki ikkinchisi — farqi yo'q) mahsulotga talab kattaligi o'zgarmasligini anglatadi.

Ikkita tovarli bitta sodda iste'mol tanlovi masalasini echaylik. Tovarlarning noma'lum miqdorlari x_l va x₂ ga, ularning bozor narxlari esa mos ravishda p_x va

p₂ ga teng bo'lsin. Qaralayotgan masala

u{x_x, x₂) = x_Y • x₂ (max) (9.2.1)

p_lx_l+p₂x₂ (9.2.2)

^>0,jc₂>0 (9.2.3)

ko'rinishda bo'ladi.

Biz aniqlaganimizdek, optimal nuqtada byudjet cheklovi tenglik ko'rinishida bajarilishi kerak, binobarin, ikkala tovar o'ta zarur bo'lgani uchun (agar ulardan biri yo'q bo'lsa, foydalilik nolga teng bo'ladi) o'zgaruvchilarning nomanfiyligi shartlari avtomatik ravishda bajariladi. Demak, echilayotgan matematik programmalash masalasi shartli ekstremumni topishning klassik masalasiga aylanadi. Ekstremumning zaruriy shartlarini yozib (ularga asosan tovarlar limit foydaliliklarining nisbatlari ularning bozor narxlari nisbatlariga teng bo'lishi kerak, byudjet cheklovi esa tenglik ko'rinishida bajariladi),

^X2 _ Pi

?

x_l p₂ Pl^Xl + P₂^X2 — I

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

Bundagi birinchi shart qaralayotgan masalada ikkala tovarga sarflanadigan pul miqdorlari bir xil, ya'ni x₂ • p₂ = x_l • p_l bo'lishi kerakligini anglatadi. Bu

foydalilik funktsiyasida j, va x₂ o'zgaruvchilarning «vaznlari» yoki daraja

I

ko'rsatkichlari tengligidan kelib chiqadi. Demak, x₂ • p₂ = x_l • p_l = — va talab funktsiyalari

I I