Эконометрика-2

Задача 2 (20 баллов).
Макроэкономист утверждает, что логарифм ВВП США может быть представлен в следующем виде: , где , L  оператор сдвига по времени и  белый шум. С помощью МНК была получена регрессия .
а) Вычислите величины .
б) Найдите корни характеристического уравнения. Что можно сказать о стационарности этого процесса: можно ли считать его стационарной авторегрессией с детерминированным трендом или процессом со стохастическим трендом?
в) Оцените величину .
Решение
а) Имеем . Отсюда получаем:
, откуда

б) Характеристическое уравнение имеет корни . Корни (а точнее, оценки корней) характеристического уравнения лежат вне единичного круга, что формально дает повод считать этот процесс авторегрессией с детерминированным трендом. Однако близость к 1 наводит на подозрение, что для более полного анализа требуется провести Unit Root Test. Это подозрение еще более усиливается, если переписать уравнение для в виде регрессии, используемой в тесте ДикиФуллера:
. Конечно, не зная стандартных ошибок регрессии, мы не можем провести этот тест. Однако учитывая тот факт, что временной ряд для ВВП обычно является достаточно коротким, можно ожидать, что ошибки будут не слишком маленькими. Иными словами, данные задачи не позволяют однозначно определить характер стационарности ряда, но оставляют сильное подозрение на наличие единичного корня.
в) Как и следовало ожидать, , что также подтверждает подозрение о наличии единичного корня.


РЭШ, 2004/05
Эконометрика 2
Экзамен
24 апреля 2005 г.
Вторая часть

Продолжительность второй части экзамена 1 час 30 мин.

Задача 3 (20 баллов)
Дан ARMA(1, 1)-процесс  белый шум, .
а) Вычислите , ACF(3).
б) Вычислите .
Решение
а) Данный процесс
(1)
можно представить в виде , где, как обычно, L  оператор сдвига по времени. Очевидно, что процесс стационарный и обратимый и . Обозначим (нетрудно проверить, что в силу стационарности z не зависит от t).
Процесс допускает МА()-представление:
, (2)
где L  оператор сдвига по времени. Отсюда в силу независимости значений белого шума в разные моменты времени имеем
.
Используя (2), получаем:
, откуда, вновь учитывая независимость значений белого шума, получаем:

Умножим обе части равенства (1) на , возьмем математическое ожидание от обеих частей и разделим на : . Отсюда . Имеем .
б) Нетрудно проверить, что в разложении (2) коэффициент при равен . Это и есть .