Eki argumentli funkciyanin aniqlaniw oblasti, grafigi, limiti ham uzliksizligi

Muhammed Al-Xorezmiy atindagi Tashkent informacialiq texnologiyalar universiteti Kompyuter injeneringi fakulteti Multimedia texnologiyalari bagdari 1-kurs studenti Oralbaev Aydostin Esaplaw paninen oz betinshe jumisi

EKI ARGUMENTLI FUNKCIYANIN ANIQLANIW OBLASTI, GRAFIGI, LIMITI HAM UZLIKSIZLIGI

1. 
   Kop ozgeriwshili funkciyalar haqqinda uliwma tusinik.
   

Bunday baylanislardi teksiriw ushin kop ozgeriwshili funkciyalar tusinigin kiritemiz ham olardi tekseriw apparati ammellerin uyrenemiz.
1-esap. R² kenislikte bir D toplamdin bir-birine baylanisli bolmagan x ham y ozgeriwshileri har bir (x,y) haqiyqiy sanlari jupligi birar qagiydaga kore E toplamdagi bir z haqiyqiy san mas qoyilgan bolsa, D toplamda eki x ham y ozgeriwshilerdin funkciyasi z aniqlangan delinedi. Eki ozgeriwshinin funkciyasi simbolliq tarizde tomendegishe belgilenedi: z=f(x,y), z=F(x,y) (funksiya U yaki y menen ozgeriwshiler mas rawishte x,t yaki x₁,x₂ ler menen bekgilengen bolsa U=f(x,t) yaki y=f(x₁,x₂) tarizde koriniwi ham mumkin ham t.b.). Bunda x, y ozgeriwshilerge erkli ozgeriwshiler yaki argumentler, z ga erksiz ozgeriwshi yaki funksiya dep ataladi.
D toplamga funkciyanin aniqlaniw oblasti, E toplamga ozgeris yaki manisler oblasti delinedi. Har bir haqiyqiy sanga bir tayin koordinat sistemasida bir M noqat ham bir noqatga bir jup haqiyqiy san mas kelgenligi ushin eki argumentli funkciya M noqattin funkciyasi ham dep qaraladi, hamde y=f(x₁,x₂) ornina y=f(M) ham dep jaziw mumkin.
Eki ozgeriwshili funksiya beriliw usillari ham, bir ozgeriwshili funkciyaga oqsas har qiyli boliwi mumkin. Koprek funkciyanin analitik usilda beriliwin qaraymiz. Misali 1) funkciya aniqlangan boliwi ushin 4-x²-y² 0 yaki x²+y² 4 boliwi kerek, bunday noqatlar toplami orayi koordinatalar basinda raiusi 2 ge ten bolgan shenberden ibarat. Manisler oblasti [0,2) boladi. 3) u= funkciya x²+y²-9>0, yagniy orayi koordinatalari basinda radiusi 3 ge ten bolgan shenberden sirtinda aniqlangan. Manisler oblaasti (0.+∞).
Eki argumentli funkciyanin geometric korinisi kenislikte tenlemesi z=f(x,y) bolgan sirtin korsetedi. Misali:

1. 
   Z=2x+3y-12 eki argumentli funkciya kenislikte
   

2x+3y-z-12=0 tegislikti korsetedi. 2) x²+y²+z²=R² sfera tenlemesi bolip, z=± eki argumentli funkciyalar grafiklari sferani ipadalaydi.
2-esap. D toplamdin har bir (x₁,x₂,x₃) haqiqiy sanlar ushligi birar qagiyda boyinsha E toplamdagi bir y haqiqiy san mas qoyilgan bolsa, D toplamda ush ozgeriwshinin funkciyasi aniqlangan delinedi.
Bunda x₁,x₂,x₃ erkli ozgeriwshiler yaki argumentler, y ese erksiz ozgeriwshi yaki funkciya dep ataladi. Ush ozgeriwshinin funksiyasi y=f(x₁,x₂,x₃), u=f(x,y,z), u=A(x,y,z) ham t.b belgilenedi.
Geometrik noqatliq nazerinnen tuwri muyeshli koordinatalar sistemasina haqiqiy sanlardin har bir (x,y,z) ushligida kenisliktin jalgiz P(x,y,z) noqati mas keledi ham kerisinshe. Sonin ushin ush ozgeriwshinin funkciyasi P(x,y,z) noqattin funkciyasi sipatinda qaraw mumkin. Sonday qilip, u=f(x,y,z) ornina u=f(P) dep jaziw ham mumkin. Ush ozgeriwshili funkciya aniqlaniw oblasti R³ kenisliktin bir noqatlar toplami yaki putin kenislik boliwi mumkin. Misali: z= funkciya aniqlaniw oblasti: 25-x²-y²-z²≥0 yaki x²+y²+z²≤25 shatde aniqlangani ushin x²+y²+z²=25 sfera ham onin ishinde aniqlangan.
Tort ozgeriwshili ham uliwma n ozgeriwshili funkciyaga ham joqaridagiday tarip beriw mumkin. Bunday funkciyalar mas rawishte y=f(x₁,x₂,x₃,x₄) yaki u=f(x,y,z,t), y=f(x₁,x₂,…,x_n) noqatinin funkciyasi sipatinda qaraw mumkin.

2. 
   Eki ham kop argumentli funkciya limiti.
   

y=f(x) funkciya ushin noqattin atrapi sol noqatti oz ishine algan araliq bolar edi. Eki argumentli z=f(x,y) funkciya qaralganda noqattin α atrapi delingende orayi P₀(x₀,y₀) noqatta α radiusli shenberdin ishinde jatiwshi barshe P(x,y) noqarlar tusiniledi.
Kenislikdegi noqattin α atrapi ham sogan oqsas aniqlanib orayi P₀(x₀,y₀,z₀) noqatta radiusi α bolgan shardin ishki noqatlari boladi.
N olshewli (n>3) kenislikte P₀(x₁,x₂,…,x_n) noqattin α atrapi sogan oqsap aniqlanadi.
3-esap. Eki ozgeriwshili z=f(x,y)=f(P) funkciya P₀ noqattin bir ar atrapinda aniqlangan bolsa (P₀ noqatta aniqlanbagan boliwi mumkin) ham iqtiyariy β>0 ushin sonday α>o tabilsa p(P,P₀)= < α tensizlikti qanaatlandiriwshi barshe P(x,y) noqatlar ushin
|f (x, y)  A|   yaki |f (P)  A  |
Tensizlik orinlansa, A ozgermes san z=f(x,y) funkciyanin
P  P₀ dagi limiti delinedi, ham
=A menen belgilenedi.
Limittin tarepinnen kelip shigadiki, A san z=f(x,y) funkciyanin limiti bolsa, |f(x,y) – A| ayirma
x  x₀ , y  y₀ da sheksiz kishi ules boladi. Ush ham ondan artiq ozgeriwshi funkciyanin limiti ham joqaridagiga oqsas aniqlanadi. Bir neshe ozgeriwshili funkciyanin limiti ham joqaridagiga oqsas aniqlanadi.
Bir neshe ozgeriwshili funkciyanin limiti 0 ge ten bolsa, bunday funkciyaga sheksiz kishi funksiya yaki sheksiz kishi ules delinedi.
Y=f(x) funkciya ushin limitler haqqinda barshe kerekli teoremalar bir neshe ozgeriwshinin funkciyasi ushin ham orinli ekenligi atap otemiz.
1-misal. limitti esaplan.sebebi
Sheshiw. P₀(2;0) noqatta funkciya aniqlanbagan. Limittin tuwindilarinnan

3. 
   Eki ozgeriwshili funkciya tola orttirmalari.
   

4-esap. Z=f(x,Y) funksiyada x ozgeriwshige bir arttirma berip, y ti ozgerissiz qaldirsaq, funksiya _xz arttirma alip, bul arttirmaga z funksiyanin x ozgeriwshi boyinsha artirmasi delinedi ham tomendegishe jaziladi:
_xz=f(x+ x,y)-f(x,y).
Tap sonday, y ozgeriwshige y orttirma berip x ozgerissiz qalsa, ogan z funkciyanin y ozgeriwshi boyinsha arttirmasi delinedi ham tomendegi jaziladi:
_yz=f(x,y+ y,)-f(x,y).
5-esap. X ham y ozgerisler mas rawishte arttirmalar alsa, z=f(x,y) funkciya
z=f(x- x, y+ y)-f(x,y) toliq arttirma aladi.

4. 
   Eki ham kop argumentli funkciyanin uzliksizligi ham uzilisi.
   

6-esap. z= f(x,y) = f(P) funkciya P₀(x₀,y₀,) noqatta hamde onin bir jaginda aniqlangan ham

Bolsa, yagniy funkciyanin P₀(x₀,y₀) noqattagi limiti funkciyanin sol noqattagi manisi ten bolsa, funkciya P₀(x₀,y₀) noqatta uzliksiz delinedi.
Bul esapta ten kushli 2-tarifni ham keltirin P₀(x_0,y₀) nuqtadagi toliq arttirmasi bolsin.

7-esap. z=f(x,y)=f(p) funsiya p₀(x₀,y₀) nuqtada ham onin atirapinda aniqlangan bolsa, argumentlerdin ham y sheksiz kishi arttirmalarga funkciyanin ham sheksiz kishi arttirmasi mas kelse, yagniy

Bolsa, funkciya R₀(x₀,y₀) noqatta uzliksiz delinedi.
8-esap. Uzliksizlik shartleri biyjerilmegen nuqatlar uzilis nuqtalari deyiledi. Eki ozgeriwshili funkciya uzilis nuqatlari putin siziqti tuwindi qiluw mumkin.
1-misal. Z=x²+y² funkciyanin P₀(2;3) noqatta uzliksizligin korsetin.
Sheshiw: Bul noqatta funkciyanin toliq arttirmasin tabamiz:

6-esapqa asaslap
Sonday qilip, Demek, P₀(2;3) noqatta berilgen funkciya uzliksizdir. Bul qalegen P₀(x₀;y₀) funkciya bir toplamnin har bir noqatinda uzliksiz bolsa, ogan bul toplamda uzliksiz delinedi.
2-misal. Z= funkciyanin uziliw noqatlarin tabin.
Sheshiw. Funkciya koordinatalari z²-y²=0 tenlemeni qanaatlandiriwshi noqatlarda uziliske iye. Bul y=x ham y=-x tuwri siziqlar bolip, bul tuwri siziqlarga tiyisli har bir noqatta funkciya uziliske iye boladi.
Eki ozgeriwshinin uzliksiz funkciyasi ham bir ozgeriwshinin uzliksiz funkciyasi iye bolgan agzasina iye.