Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

\x -* k \>xBn ^ \x~ak \>^B„

132

ekanligini e ’tiborga olinsa,

p { K

^ " °kI >xB"}= ^ jj U(!^ - a*| >

)| <

|
( * - « * f

dFk ( x)

k=‘
1 " fc=1 |x-u^|>t3„

Agar Lindeberg sharti bajarilsa, u holda oxirgi tengsizlikning o ‘ng tom oni. x > 0 son har qanday b o ‘lganda ham «->» da nolga intiladi.

Xususan, agar {£„} tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi bir xil taqsimlangan bo‘lsa, u holda 2-teorem adan 1-teorem a kelib chiqa­ di. H aqiqatan ham , bu holda B2 = a 2 ■n, 0 < a 2 < oo va w->oc da ixtiyoriy x > 0 uchun

Z/n (x) = - y	f ( x - a j 1 d F ( x )	-» 0.
(■y	J
|a - * /|> to Jr t
S	A	asim ptotik norm al
Endi yuqoridagi T)„ =	kctm a-ketlik

b o lish i uchun yetarli b o ig an boshqa shartlarni ham ko‘rsatish m um kin. M isol uchun Lyapunov shartini qaraylik. Bu shart Lindeberg shartiga ko'ra nisbatan ko‘proq talablar q o ‘ysa ham, b a’zi hollarda bu shartni tekshirish oson b o iad i.

Aytaylik, biror 5 > 0 son uchun
4 * = E t k - a k? *
mavjud b o isin va

cr =t ci**

k=\
deylik.
3 -teorem a (A. M. Lyapunov). Agar «->oo da

shart bajarilsa, u holda oo da

2
P (n „ < x ) ^ > ~ j e 2 du
-oo
m unosabat V x e ( - 00, 00) da bajariladi.
/iioft'. Lyapunov sharti bajarilganda Lindeberg sharti o ‘rinli b o ‘-

lishini ko‘rsatamiz. \x -		ak I > 1:Bn tengsizlikdan ushbu		!'-■	> 1 ni
hosil qilam iz, u holda				TB,
	j r Z	j	(x ~ ak)2 dFk ( x ) <
	k=X\x-ak>\iB,
			2+8	1 f n	A2+8
j r Z r j j	J

/!-*» da, bu esa teorem ani isbotlaydi.

Misol. Quyidagi b o g iiq b o ‘lm agan tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi uchun m arkaziy lim it teorem aning o ‘rinliligi tekshirilsin:
P ( ^ k = ± k ) = \ k \ P{%k = 0) = 1 - k~^, k = 1 ,2 ,....
Yechish. Lyapunov shartini tekshiram iz:
E£,jt = 0 ; Dt,k = k 1 = o k \ ck —k 2 .
U shbu a > —1 b o ‘lganda o ‘rinli b o ‘ladigan
Y F ~ \ xad x ------ - « a+1

-f-f J a+1

*=1 1
m unosabatni tekshirishni o ‘quvchiga m ashq sifatida beram iz. Bu m unosabatdan foydallanib,

Bl ~ A n K c 3n = ~ A 2rh
Ar=l
ni aniqlaym iz, bu yerda A x va A2 ~ absolut o ‘zgarm as sonlar.

134

D em ak,

	7
£ l	A2r>2	n		x i .
	IT		- >
Bl
	Atn 4

Shunday qilib Lyapunov sharti bajariladi va markaziy limit teorem a o ‘rinli ekan.

‘/,-o‘zini tekshirish uchun savollar
K atta sonlar qonunining m ohiyati nim adan iborat?
Chebishev tengsizligini yozing. Uni isbotlang.
Chebishev formasidagi katta sonlar qonuni nim adan ibo­
rat?
Chebishev teorem asini aytib bering. Uni isbotlang.
Bernulli teorem asini aytib bering. Uni isbotlang.
6. Markaziy limit teorem asining ma/.muni nim adan iborat?
Ehtim olliklar nazariyasining limit teoremalari qanday aham i-yatga ega?
. Lyapunovning m arkaziy limit teoremasi nim adan iborat?
Misol va masalalar
£, tasodifiy m iqdor ushbu = \ , D^ = 0,04 xarakteristika-larga ega. A = {0,5 < E, < 1,5}, B = {0,75 < £ < 1,35}, C = { ^ < 2 } hodisalar ehtimolligini quyidan baholang.

Javob: i >(,4 )> 0 ,8 4 ; P ( B ) > 0,36; P ( C ) > 0 ,9 6 .
Biror tayin joyda 1 yildagi quyoshli kunlar soni X, o'rta qiymati 100 kun va o ‘rtacha kvadratik chetlanishi 20 kun bo‘!gan tasodifiy m iqdor b o isin . Quyidagi hodisalar ehtim olliklarini yu-qoridan baholang: A = { X > 150}, B = { X > 200}.
Javob: P ( A ) < 0,16, P ( 5 ) < 0 ,0 4 .

135

bogiiqsiz tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi b o lib ,

^ , 0 va - qiym atlarni m os ravishda 1 - —, ~ ehti-

2 n n 2n

m olliklar bilan qabul qiladi. Bu ketm a-ketlik uch u n katta sonlar qonuni bajariladim i?
, Javob: bajariladi.
b o giiqsiz tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi b o lib ,
t,„ - y f n , 0 va n qiym atlarni m os ravishda — T , 1 — y , — - ehti-

2 n n In'-

m olliklar bilan qabul qiladi. Bu ketm a -ketlik uchun katta sonlar q onunini q o lla sh m um kinm i?

Javob: ha.
b o g iiq siz tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi b o lib ,
—n, 0 va n qiym atlarni m os ravishda ~ , j , j ehtim olliklar
bilan qabul qiladi. Bu ketm a-ketlik uchun katta sonlar qonunini q o lla sh m um kinm i?
Javob: yo‘q.
6. m atem atik kutilm alari va dispersiyalari chekli b o ig an bogiiqsiz va bir xil taqsim langan tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi
b o isin . Ixtiyoriy haqiqiy s o n x uch u n quyidagi lim P{tA +... + 'qn < x)
rt->oo

lim it yoki 0 yoki 1 yoki 1/2 ga teng ekanligini isbotlang. U shbu vaziyatlar bajariladigan shartlam i k o ‘rsating. . ■

Javob: 0 agar ££,, > 0; 1 agar EtsX < 0; 1/2 agar Et>] = 0.
^ ,^ 2, — m atem atik kutilmalari 0 va dispersiyalari chekli b o ig an bogiiqsiz va bir xil taqsim langan tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi

b o isin , r\n =		Agar	lim P \ ~	> l ] = | b o isa ,	ni
toping.			4n	J 3
Javcob: Dc,. =	1	bu yerda		2
	yJX		x soni (I)(x ) = — tenglam aning
				i

yechim i.

136

8. b o g iiq siz tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi boMsin,

r\n = £,! + ■■■+ '%„■ A gar^„ tasodifiy m iqdor [an - 1, an + 1] oraliq-
da tekis taqsim langan b o ‘lib, a x,a2,... haqiqiy sonlar ketm a-ketligi
uchun y a, = A < oo bo Isa, u holda lim P 0 < < 1 ni toping.

^ «->oo v y

Javob: 0 ( V 3 ) - i .

V bob bo‘yicha test topshiriqlari
1. Diskret tasodifiy m iqdor ushbu taqsim ot qonuni bilan berilgan:

	X	0,1	0,3
	P	0 ,4	0,6
Chebishev tengsizligidan foydalanib,				|E, - E %| < 0 ,2 ning eh ti­
m olligini baholang.
A) 0,76	B) 0,73		C) 0,9	D ) 0,29.

Agar £, tasodifiy m iqdor chekli EE, m atem atik kutilm aga, a o ‘rta kvadrat chetlanishga ega b o ‘lsa, |E, - Et,\ < 3 a hodisa eh ti­ m olligini baholang.

A) 8/9 B) 1/3 C) 1 D) 7/6.
0 ‘zaro bog‘liq b o lm a g a n 1000 tajribaning h ar birida biror A hodisa 0,5 ehtim ollik bilan ro ‘y bersin. Agar A hodisaning ro ‘y berishlar soni X b o lsa , ^ (3 5 0 < X < 650) ehtim ollikni b ah o l­ ang.
^(340 < X < 660) > 0,989
P(350 < X < 650) > 0,989
P ( 350 < X < 650) < 0,989 D) P(350 < X < 650) <0,989.

137

0 ‘zaro bog‘liq b o ‘lmagan tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketiigi {£%} u ch u n E t,= 0, D^n = na , a = const, a < 1 berilgan . Bu ketm a-ketlik uchun katta sonlar qonuni o'rinlim i?

A) 0 ‘rinli.
0 ‘rinli emas.
0 ‘rinli b o lish i ham , bolm asligi ham m umkin.
a = const, a < ^ bo‘lganda o'rinli, qolgan hollarda o'rinli emas.
0 ‘zaro b o g iiq b o im ag an 500 ta tajribaning har birida biror A hodisa p — 0,2 ehtim ollik bilan ro‘y bersin. Bu tajribalarda A

hodisaning ro‘y berishlar soni E, b o isa,				P(50 < E, < 150)		ehtim ol-
likni Chebishev tengsizligidan foydalanib baholang.
A)	P(50<4<150)	> 0,968	C)	P(50<4 <	150)	= 0,968
B)	P (5 0 < q < 150)	< 0,058	D)	P(50<£<	150)	< 0,968.

6. Ushbu m unosabat m alu m :