Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

l,7 -§ . T oia ehtimollik va Bayes formulalari
Oddiy holdan boshlaylik. A va H ixtiyoriy hodisalar boisin.

23. 
    hodisaning ehtimolligi, A va H hodisalar o‘zaro qanday muno-sabatda boiishidan qat’iy nazar hamma vaqt A va H. hamda A va H hodisalarning bir vaqtda ro‘y berish ehtimolliklari yigindisiga teng:
    

P{A) = P(AH)+ P(AH).
Buni Venn diagrammasida ifodalaymiz (9-rasm).
A hodisani qismlarga ajratish H v a H hodisalarga bogiiq. Hva

23. 
    hodisalar —A hodisani ikkita o‘zaro birgalikda boimagan qism
    

to‘plamlarga ajratish usuli. A hodisa yoki H hodisa bilan yoki H hodisa bilan ro‘y berishi mumkin, ammo ikkalasi bilan bir vaqtda ro‘y bermaydi.

34

A

9-rasm.
Endi murakkabroq holga o‘tamiz.
Faraz qilaylik, A hodisa n ta juft-jufti bilan birgalikda boimagan Hx, H2, Hn hodisalarning bittasi bilangina ro‘y beradigan bolib,
\
H , H j = 0 , i * j ; A c \ j H j , P{H'■) > 0, j = 1,2,...,n bolsin.
j=\
H h H2, ..., Hn hodisalarning qaysi biri ro‘y berishi oldindan m a’lum bolm agani uchun ular gipotezalar deb ataladi.

Bu holda A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi quyidagi to‘la ehtimollik deb nomlanuvchi formuladan topiladi:

P ( A ) = f j P ( H J ) P ( A / H j ).
M
n

Isbot. Keltirilgan shartlardan A = ( J H jA tenglik kelib chiqa-
H
di ( 10-rasmda hodisa to ‘rtta juft-jufti bilan birgalikda boimagan H v H2, H3, //4 hodisalarning bittasi bilangina ro'y beradi).
H XA, H2A, ..., HnA hodisalar juft-jufti bilan birgalikda b o l-maydi, chunki Hu H2, ..., Hn hodisalar juft-jufti bilan birgalikda emas. Shuning uchun
P(A) = P ( H lA u H 2A u ... u H nA) =
= P ( H lA) + P ( H 2A) + ... + P ( H nA) = X P(HjA) .