E soni haqida

e sonni amaliy qo'llashi
E soni, shuningdek, uning ishtirokchilari bilan bir-biriga bog'langan holda, zamonaviy dunyodagi eng muhim vazifalar qatoriga kiradi. Katta yoki kamayib boradigan ko'plab jismoniy va biologik jarayonlar mavjud.

• 
  Radioaktiv parchalanish qonuni
  
• 
  Sovutish moslamalari uchun formula
  
• 
  Tsiyolkovskiy samolyot tezligini hisoblash uchun formula
  
• 
  Boltzmann barometrik formulasi
  
• 
  Hayvon populyatsiyasining eksponentsional o'sishi uchun formula va Verhulst logistika tenglamasi.
  

Biz qanday echimga ega ekani haqida bir necha muammoni hal qilmoqdamiz.
N sonining faktitoriyasi n ob'ektlarining joylashtirilishi soniga teng bo'lganligi sababli, ehtimollik nazariyasi muammolarida e-sonlarning o'zgarishi bilan bog'liqligi ajablanarli emas.
Aralash shlyapalar haqida masalari
O'n kishi choyshabga shlyapalarini sovg'a qildi. Raqamlarni chiqarishdan oldin, gulxanning xizmatchisi ularni tasodifan aralashtirib yubordi. Ehtimol, egalarining hech bo'lmaganda bittasi o'z shlyapasini olishadi.
Yechim: siz ikki miqdorni bilishingiz kerak: birinchi navbatda, 10 bosh kiyimdagi barcha almashtirilganlar soni, ikkinchidan, "butunlay noto'g'ri" joylashtirilgan soni, ya'ni shlyapa egasining shlyapasini olmaydigan sonini aniqlash. Birinchi raqam 10! ga tengdir, ya'ni 3,628,800. N moslamalarni "mutlaqo tasodifiy" almashtirilgan soni eng yaqin songa teng. Bizning holatimizda bunday raqam 1,334,961 ni tashkil qiladi, shuning uchun hech kim shlyapasini qaytarib olish ehtimoli 1,334,961/3628,8800 = 0,367 879 ... Oxirgi raqam _. 10! ni suratda va maxrajda qisqartirirsak biz 1/e topamiz. Shuning uchun hisoblash ehtimolligi deyarli 1/e ga teng. Shunday qilib, barcha shlyapalar shubhali bo'lganligini bilamiz. Shubhasiz, ikkita narsadan biri hamisha bo'ladi: yoki shlyapalar shubhalanadi, yoki ulardan kamida bittasi egasiga qaytariladi. Shuning uchun, 1/e ga 1dan (ishonchli hodisa yuzaga kelishi ehtimolligi 1) chiqarilsa, biz kamida bitta odamning shlyapasini qaytarib olish ehtimolini olamiz. Shunday qilib, kerakli ehtimollik deyarli 2/3 bo'lgan 0,6321 ga teng.
Shlyapa soni olti yoki ettiga etganidan keyin uning yanada ortishi natijaga ta'sir ko'rsatmaydi. Odamlar sonidan qat'i nazar (ular o'n yoki o'n millionlik bo'lsin), bir yoki bir nechta shlyapa egalari bilan tugash ehtimoli 0.6321 ni tashkil etadi.
Masala
Kartalarni ehtiyotkorlik bilan aralashtirib, stolga yuqoriga qarab qo'yib, barcha 52 ta kartani oldindan rejalashtirilgan tartibda ovoz chiqarib chaqiring (masalan, kostyumning barcha kartalari, acedan shohga, keyin esa yurak qalbining barcha kartalari, keyin klublar va olmoslar). Agar siz qo'ng'iroq qilgan paytda stolda kamida bitta karta qo'yilgan bo'lsa, g'alaba qozonasiz. Qanday qilib g'alaba qozonishingiz va bu o'yinni qanday qilib yo'qotasiz?
Intuitiv tarzda g'alaba qozonish ehtimolligi juda kichik: eng yaxshi, 1/2 dan oshmaydi. Aslida, biz shlyapa masalasida ko'rganimizdek, (1-1/e), ya'ni deyarli 2/3. Bu shuni anglatadiki, har bir uchta o'yinning ikkitasida g'alaba qozonishingiz mumkin bo'lgan o'yinlarning uzoq davom etadigan seriyasi.
Ushbu ro'yxat juda uzoq vaqt davom etishi mumkin. E raqami, eksponent yoki tabiiy logaritma muhim ahamiyatga ega bo'lgan ko'plab boshqa formulalar va qonunlar mavjud.
Taxminan 2,718, matematika va tabiiy fanlarda ko'pincha mavjud. Masalan, radioaktiv moddaning moddalarning dastlabki miqdori t vaqtidan keyin radioaktiv moddalarning parchalanishi natijasida e - kt ga teng qism bo'lib qoladi, bu erda k - ushbu moddaning parchalanish tezligini tavsiflovchi raqam. 1/k ning o'zaro ta'siri ma'lum bir moddaning atomining o'rtacha umri deb ataladi, chunki odatda, atom parchalanishidan oldin 1/k vaqtga teng. 0.693/k qiymati radioaktiv moddaning yarim parchalanishi mavsumi , ya'ni, moddasining yarim qismi boshlang'ch miqdoridan buzilish vaqti; 0.693 soni taxminan log_e 2 ga teng bo'lib, yani e soni asosiga logaritm 2 soniga deyiladi. Xuddi shunday, agar bakteriyalar hozirgi vaqtda ularning soni bilan mutanosib ravishda tezda oziqlanadigan muhitda o'sadigan bo'lsa, unda vaqt tugashi bilanoq bakteriyalar N ning boshlang'ich soni Ne^ktga aylanadi. Bir qator ulanish bilan oddiy elektronda parchalanish, R rezistentligi va induktik L qonuni I = I₀e ^{- kt} qonuniga muvofiq amalga oshiriladi, bu erda k = R/L, I₀- ayni vaqtning tokni quvvati va t = 0 bo'lgan oqimi so'nishidir. Xuddi shunday formulalar ham qayishqoq suyuqlikdagi dam olish kuchlanishi va magnit maydonning so'nishi ta'riflaydi. 1/k soni odatda dam olish vaqti deb nomlanadi. Statistika bo'yicha e ^-kt qiymati uchraydigan ehtimollik bilan, t vaqt davomida o'rtacha tez-tez takrorlanishi k voqealari bilan tasodifan sodir bo'lmagan hodisalar sodir bo'lmaganligi sababli paydo bo'ladi. Agar S - alohida qiymat oralig'ida hisoblash o'rniga doimiy foiz hisobida r foiziga kiritilgan pul miqdori bo'lsa, unda dastlabki mablag 'Se^tr/100 ga ko'payadi. E sonining "har yerda tayor" sababi eksponent funktsiyalarni yoki logaritmalarni o'z ichiga olgan matematik formulalar, logaritmalarni 10 ga yoki boshqa asosga ko'ra emas, balki e ga qarab, osonlik bilan yoziladi. Masalan, log₁₀x dan teng (1/x) log₁₀e, log_ex yasamasi 1/x ga teng bo'ladi. Xuddi shunday, yasamasi 2^x dan 2^xlog_e2 ga teng, e^x esa yasamasi uchun tengdir. Buning ma'nosi shuki, e soni b asosiga belgilash mumkin, y = log_bx funktsiyasi x=1 ga teng bo'lgan burchak koeffitsiyenti 1 ga teng bo'lgan chiziqli chiziqqa ega bo'lgan yoki y = b^x chizig'i burchak koeffitsienti bilan x = 0 bo'lgan chiziqli b 1 ga teng. Logaritmalarining E ning asosi bilan "natural" deb ataladi va ular ln x bilan belgilanadi. Ba'zan ular "neper" deb nomlanadi, bu noto'g'ridir, chunki aslida J.Neper (1550-1617) logarifmalarni boshqa asosda ixtiro qilgan: x ning neperov logaritmasi 10⁷log_1/e(x/10⁷).
E darajalardagi turli kombinatsiyalar matematikada tez-tez uchraydigan maxsus nomlar mavjud. Ular, masalan, giperbolik funktsiyalar.

Y = ch x funktsiyasining tizma chizig'i deb ataladi; bu shaklning oxiriga osilgan og'ir, uzluksiz ip yoki zanjir bor. Eyler formulalari

qaerda i² = -1 bo'lsa, trigonometriya bilan e sonini ulashadi. Maxsus holat x = p matematikada eng mashhur 5 sonni birlashtiradigan mashhur munosabatni eⁱp+1=0 ga olib keladi.
E qiymatini hisoblashda, boshqa bir qator formulalar (ko'pincha ular birinchi ishlatiladi) foydalanish mumkin:

e sonning 15 ta kasrli o'nliklarga teng 2,718281828459045. 1953 yilda 3333 kasrli kasr bilan e ning qiymati aniqlandi. Bu raqamni ko'rsatish uchun "e" belgisi 1731 yilda L. Eyler (1707-1783) tomonidan kiritilgan.