Движение жидкостей и газов в трещиноватых и трещиновато пористых средах

2. Вывод дифференциальных уравнений движения жидкости и газа в трещиноватых и трещиновато-пористых средах. Выведем дифференциальные уравнения движения жидкости и газа в деформируемой трещиновато-пористой среде, считая, что в каждой точке имеется два давления (р₁ - в системе трещин, р₂ - в пористых блоках) и две скорости фильтрации - и соответственно. Перетоки между средами определяются формулами (9) или (10).
При составлении дифференциальных уравнений записывают два уравнения неразрывности- одно для фильтрации в трещинах (среда 1), другое для фильтрации в пористых блоках (среда 2). Уравнение баланса жидкости в трещинах, т. е. уравнение неразрывности, отличается от уравнения (3) только наличием в правой части добавочного члена, представляющего собой массу жидкости или газа q, перетекающей за единицу времени из блоков в трещины в единице объема среды:
₍₁₁₎
где - плотность жидкости или газа при давлении р₁.
Для фильтрации в пористых блоках уравнение неразрывности принимает вид
₍₁₂₎
где - плотность жидкости или газа при давлении р₂.
Для чисто трещиноватого пласта q= 0 и остается только уравнение (11), так как в блоках не содержится жидкости.
Считая, что выполняется линейный закон Дарси, можем написать дифференциальные уравнения движения в системе трещин и в пористых блоках соответственно:
_(13)
(14)
К уравнениям (11)- (14) должны быть добавлены зависимости плотности , пористостей обеих сред т₁ и т₂ и проницаемостей k₁ и k₂ от давлений р₁ и р₂.
Подставив выражения (13), (14), а также (9) для упругой жидкости или (10) для газа в уравнения неразрывности (11) и (12), получим систему уравнений неустановившейся фильтрации любого однородного флюида в трещиновато-пористой среде в общем виде

<sub>(15)



(16)</sub>
где f (p) = p - для упругой жидкости; f (p) = p²/2p₀ - для идеального газа.
Для .получения единственного решения при интегрировании этой системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно давлений р₂ и р₂ к ней необходимо добавить начальные и граничные условия (см. § 5, гл. 3).
3. Установившаяся одномерная фильтрация жидкости и газа в трещиноватом и трещиновато-пористом пласте. Рассмотрим установившуюся фильтрацию жидкости и газа в деформируемом чисто трещиноватом пласте, в котором проницаемость изменяется в зависимости от давления по одному из законов (6)- (8). В этом случае правая часть уравнения (15) обращается в нуль, и дифференциальное уравнение для давления в трещинах принимает вид

₍₁₇₎
Введем функцию Лейбензона
₍₁₈₎
подобно тому, как это сделано в гл. 5; можно показать, что она удовлетворяет уравнению Лапласа
₍₁₉₎
Вспоминая, что для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в среде с постоянной проницаемостью изменение давления описывается уравнением Лапласа, можно провести аналогию между установившейся фильтрацией жидкости в недеформируемой пористой среде (см. гл. 4) и установившейся фильтрацией жидкости и газа в деформируемой трещиноватой среде: все выведенные в § 2 гл. 4 закономерности для несжимаемой жидкости можно использовать для описания течения в деформируемой породе, заменив давление р на функцию Лейбензона (при одинаковых граничных условиях и в пластах одинаковой геометрии).
Для одномерной фильтрации массовый дебит можно определить из дифференциального уравнения
₍₂₀₎
Рассмотрим фильтрацию несжимаемой жидкости ( =const) с постоянной вязкостью ( =const). Найдем выражение функции Лейбензона для экспоненциальной зависимости проницаемости от давления (7):
₍₂₁₎
и выведем формулы дебита и распределения давления для плоскорадиальной фильтрации жидкости в круговом пласте к скважине. Дебит определится по формуле Дюпюи , в которой давления р_к и р_с должны быть заменены значениями функции Лейбензона
₍₂₂₎
При этом если принять, что р₀ = р_к, то
_(23)
(24)