Dotsent t. X. Adirovning ma’ruzasi

11-amaliy mashg‘ulot. Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning asosiy sonli xarakteristikalari.

Uzluksiz tasodifiy miqdor mumkin bo‘lgan qiymatlarini butun son o‘qida qabul qilsin va funksiya uning zichlik funksiyasi bo‘lsin.

Agar - integral mavjud bo‘lsa, - integral - uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi deyiladi, ya’ni:

Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlari oraliqqa tegishli bo‘lsa, u holda

Agar - uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari o‘qida yotsa, u holda uning dispersiyasi quyidagi tenglik orqali aniqlanadi:

yoki

Agar - uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari oraliqqa tegishli bo‘lsa, u holda:

Eslatma: Matematik kutilish va dispersiyaning diskret tasodifiy miqdorlar uchun xossalari uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ham o‘rinli.
Tasodifiy miqdorning o‘rtacha kvadratik chetlanishi deb, dispersiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi:

1-misol. Ko‘rsatkichli (eksponensial) taqsimot qonuni bilan taqsimlangan:

- uzluksiz tasodifiy miqdorning:
a) zichlik funksiyasini;
b) matematik kutilishini;
v) dispersiyasini toping.


Yechish:
a) Ta’rifga asosan:
b) Matematik kutilish ta’rifiga asosan:



v) Dispersiyaning ta’rifiga asosan:

2-misol. Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va o‘rtacha kvadratik chetlanishini toping.
Yechish:
- uzluksiz tasodifiy miqdor normal qonun bo‘yicha taqsimlangan deyiladi, agarda uning zichlik funksiyasi quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘lsa:

a) – uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi hisoblaymiz:


Birinchi integral nolga teng, chunki integral ostidagi funksiya toq, integrallash chegarasi esa nolga nisbatan simmetrikdir. Ikkinchi integral esa Puasson integrali deyiladi:

Shunday qilib, a parametr matematik kutilmani bildirar ekan.
b) Dispersiya hisoblashda almashtirish va bo‘laklab integrallashdan foydalanamiz:


c) Demak,


3-misol. Ushbu taqsimot funksiya bilan berilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini toping:

Yechish:
Zichlik funksiyasini topamiz:

Matematik kutilishini topamiz:

Dispersiyasini topamiz:



Mustaqil yechish uchun masalalar


1. - tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan:

- tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari , va larni toping.


2. - uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan:

- tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari , va larni toping.