Доказательство

6- свойства. .


7- свойства. .


8- свойства. .
(Тождество Коши).


Доказательство 6-свойства:
Применяя для многочлена

Бином Ньютона, получим:
.
Коэффициенты в многочлене равно:

На основе формулы геометрической прогресси выражения

можно писать в следующем оброзом:
.
Здесь исползуя формулу бинома Ньютона можно определить коэффициенты как,

С учетом формулы

Доказательство 7-ое свойства получится из доказательство 8-ое свойства при .
На основе формулы бинома Ньютона получается
, ,
Из этих формул имея получим
.
Приравнивая коэффициенты при в обоих выражениях ( ) получаем верности 7-ое свойства.

Полиномиальная теорема. Обобщение бинома Ньютона на случай слагаемых называется полиномиальной теоремой:
,
где суммирование проводится по всем решениям уравнения в целых неотрицательных числах, то есть выражение равно сумме всех возможных слагаемых вида
, .
Пример. Вычислить .
Решение. Раскрывая скобки, получим
Выражение состоит из десяти членов. Этот же результат найдём с помощью полиномиальной теоремы при , . Система условий суммирования здесь имеет вид

Различных числовых коэффициентов тоже три:
, , .
Составим все возможные комбинации индексов , , :

3	0	0
2	1	0
2	0	1
1	2	0
1	0	2
1	1	1
0	2	1
0	1	2
0	3	0
0	0	3

Тогда