Доказательство

1-теорема. Для любого действительного и а также натурального имеет место:

Доказательство. База: пусть для
, .
Пусть для выполнено
.
Необходимо доказать для .
Используя формулу получим:






.

Греки знали для , ,

Омар Хайям и Али Кушчи знали для натуральных .
Ньютон 1767 году без доказательство показал формулу для отрицательных и дробных .
Л. Эйлер 1774 году доказал формулу для дробных .
К. Маклорен доказал формулу для рациональных степеней.
1825 году Н. Абель доказал теорему для произвольной комплексной степени.
2-Теорема. Для любого действительного и а также натурального имеет место:

Доказательство. Заменяя в биноме Ньютона на ( ) и для любых выражения

можно выразит в виде


.


Свойства биномиальных коэффициентов.


1-свойства.
( ).

.
Если известно любой два подряд следующих биномиальные коэффициенты то можно найти следующие коэффициент::
, ,
.


2-свойства. Для любого натурального , сумма биномиальных коэффициентов ( ) равно
.
При в биноме Ньютона получим это равенство.
3-свойства. Сумма биномиальных коэффициентов в нечетных местах равно сумме биномиальных коэффициентов в четных местах.
Полагая и в формуле бинома Ньютона получим

На основе свойства 2 и 3 получим следующая свойства.
4-свойства. При наибольшей нечетной < выполняется

равенство и при наибольшей четной < выполняется

равенство.
5- свойства. При нечетной имеет место
, ,
и пи четной имеет место
, ,

Для для любых натуральных и удовлетворяющие условие имеет место .

При , имеем неравенство .
Используя формулу можно доказать эти неравенствы.
При нечетной , является целое число, и имеет место

Значить, из формулы, при получается
.