|
Ечиш. ходиса-қутидан олинган шарнинг қизил бўлиши; ҳодиса-қутидан олинган шарнинг кўк бўлиши бўлсин, у ҳолда:
.
ва ҳодисалар биргаликда бўлмаганлиги сабабли эҳтимолни топиш учун 1-теоремани қўллаш мумкин:
.
3-таъриф. Икки ва ҳодисаларнинг -кўпайтмаси (кесишмаси) деб, бу ҳодисаларнинг биргаликда (бир пайтда) рўй беришини билдирувчи ҳодисага айтилади.
Масалан, мерган нишонга қарата иккита ўқ узди: -биринчи ўқнинг нишонга тегиши, -иккинчи ўқнинг нишонга тегиши бўлса, -биринчи ва иккинчи ўқларнинг нишонга тегиши бўлади.
4-таъриф. ҳодисаларнинг - кўпайтмаси (кесишмаси) деб, бу ҳодисаларнинг биргаликда (бир пайтда) рўй беришини билдирувчи ҳодисага айтилади.
5-таъриф. Агар ҳодисанинг рўй бериши ҳодисанинг рўй бериш эҳтимолини ўзгартирмаса ва аксинча бўлса, ва ҳодисалар эркли (боғлиқмас) ҳодисалар дейилади
Масалан, мерган нишонга қарата иккита ўқ узди: -биринчи ўқнинг нишонга тегиши, -иккинчи ўқнинг нишонга тегиши бўлса, ва ҳодисалар эркли (боғлиқмас) ҳодисалар бўлади.
6-таъриф. Агар ҳодисаларнинг ихтиёрий иккитаси ўзаро эркли бўлса, у ҳолда бу ҳодисалар жуфт-жуфти билан эркли дейилади.
Масалан, агар ва ва ва ҳодисалар эркли бўлса, у ҳолда ҳодисалар жуфт-жуфти билан эркли бўлади.
7-таъриф. Агар ҳодисалар жуфт-жуфти билан эркли ҳамда ҳар бир ҳодиса ва бошқа ҳодисаларнинг мумкин бўлган кўпайтмалари эркли бўлса, у ҳолда -биргаликда эркли ҳодисалар дейилади.
Масалан, ҳодисалар биргаликда эркли бўлса, у ҳолда ва ва ва ; ва , ва , ва ҳодисалар эркли бўлади.
Эркли ҳодисалар кўпайтмасининг рўй бериш эҳтимолини топиш қуйидаги теоремада ифодаланади.
2-теорема. Агар ва эркли (боғлиқмас) ҳодисалар бўлса, у ҳолда -кўпайтманинг рўй бериш эҳтимоли ҳодисалар эҳтимолларининг кўпайтмасига тенг:
. (5)
Бу теоремадан қуйидаги натижани оламиз.
2-натижа. Агар -биргаликда эркли ҳодисалар бўлса, у ҳолда кўпайтманинг рўй бериш эҳтимоли ҳодисалар эҳтимолларининг кўпайтмасига тенг:
ёки . (6)
Мисол.
2. I ва II тўплардан отилган ўқларнинг нишонга тегиш эҳтимоллари мос равишда ва бўлсин. Агар нишон йўқ бўлиши учун иккала ўқнинг унга тегиши шарт бўлса, нишоннинг йўқ бўлиш эҳтимолини топинг.
Ечиш. ҳодиса-I тўпдан отилган ўқнинг нишонга тегиши; ҳодиса-II тўпдан отилган ўқнинг нишонга тегиши бўлсин. Масала шартидан кўриниб турибдики, нишон йўқ бўлиши учун ҳодиса рўй бериши керак. Тўплардан отилган ўқларнинг нишонга тегиши бир-бирига боғлиқмас. Шунинг учун ва ҳодисалар эркли ҳодисалардир. Демак, 2-теоремани қўллаш мумкин:
.
Тасодифий ҳодиса тушунчаси у маълум бир шартлар асосида рўй беради ёки рўй бермайди деб аниқлаган эди. Агар ҳодисанинг рўй бериш эҳтимолини ҳисоблаш учун учун фақат шартларнинг бажарилиши етарли бўлса, яъни қўшимча шартлар талаб қилинмаса, у ҳолда бу эҳтимол шартсизэҳтимол деб аталади; агар ҳодисанинг рўй бериш эҳтимолини ҳисоблаш учун учун фақат шартларнинг бажарилиши етарли бўлмаса, яъни қўшимча шартлар талаб қилинса, у ҳолда бу эҳтимол шартлиэҳтимол деб аталади. Масалан, кўп ҳолларда ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли ҳодиса рўй берди қўшимча шарти асосида ҳисобланади.
Шуни ҳам таъкидлаш керакки, шартсиз эҳтимол тушунчаси нисбий тушунчадир, чунки унда ҳам шартнинг бажарилиши талаб қилинади.
8-таъриф. Агар ҳодиса шарт асосида рўй берса, ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли шартли эҳтимол деб аталади ва каби белгиланади.
Мисол.
3. Қутида 4 та оқ, 3 та қора шар бор. Қутидан қайтарилмасдан иккита шар олинди. Агар биринчи олинган шар ( -ҳодиса) қора бўлса, иккинчи олинган шарнинг ( -ҳодиса) оқ бўлиш эҳтимолини топинг.
Ечиш. Биринчи тажрибадан сўнг қутида 6 та шар қолади. Шу сабабли
.
Худди шу натижани
(7)
формула ёрдамида ҳам олиш мумкин. Ҳақиқаттан ҳам, биринчи тажрибада қора шарнинг чиқиш эҳтимоли . ни классик таърифдан топамиз. Ҳодисаларнинг умумий сони-қутидаги еттита шардан иккита шарнинг олиниши (ранги аҳамиятга эга эмас) ўринлаштириш билан аниқланади. -ҳодисага қулайлик туғдирувчи ҳодисалар сони га тенг. Демак, .
У ҳолда (7) формуладан фойдаланиб натижани оламиз.
Эҳтимолнинг классик таърифидан фойдаланиб (7) формуланинг тўғрилигини исботлаш мумкин.
ҳодисанинг шарт асосида рўй бериш эҳтимоли
формула билан ҳисобланади.
Do'stlaringiz bilan baham: |
