Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

1.3.2. Анализ существующих решений задачи о промораживание плоско-параллельного слоя

Скорость роста толщины льда на поверхности при подводе холода сверху, имеет место быть в обычных природных водоемах, изучалась многими отечественными и зарубежными исследователями.
Одну из первых методик расчета, определение толщины промороженного слоя в водном бассейне, разработал Иозеф Стефан – австрийский физик и математик еще в конце 19 века. В настоящее время предложено много методов расчета для определения толщины промороженного слоя водяного бассейна ( ):

• 
  Метод аналогии. Применяется когда толщина ледяного покрова назначается по метеорологическим данным исследуемого водоема с использованием картограммы максимальных, средних и минимальных толщин льда для условий средней, теплой или самой холодной зимы по данным натуральных наблюдений на водоеме-аналоге [8].
  
• 
  Эмпирический метод. Основан на поиске эмпирических связей толщины льда и отдельных факторов, определяющих изменение толщины ледяного слоя. В этом случае расчетные эмпирические соотношения получены по известной, относительно тесной корреляции между некоторыми температурными характеристиками и толщиной льда. Таким образом эмпирические формулы это тоже результаты обработки экспериментальных данных по наблюдениям толщины льда. Они, как правило, имеют местный, локальный характер [8].
  
• 
  Теоретический метод. Основан на интегрировании исходных дифференциальных уравнений, описывающих сущность нарастания толщины льда, с последующим получением аналитических или же полуэмпирических соотношений для толщины льда [8].
  

До последнего времени расчет толщины промороженного слоя на водоемах проводилось по эмпирическим формулам, которые имеют вид:

(1.5)

где Σ(−) – сумма среднесуточных температур окружающего воздуха за рассчитываемый период времени, К; A – параметр; n – коэффициент, который отражает природные условия за расчетный период (температуру и скорость течения воды, глубину водоема, высоту и плотность снежного покрова).
Базой для появления многих эмпирических формул, является зависимость, выведенная Стефаном:

(1.6)

где Σ(− ∙��) - индекс холода за планируемый (назначенный) период исследования, градусосуток; – постоянная Стефана-Больцмана, = 5.67∙Вт∙∙; – плотность воды, кг/; – толщина льда, м; – коэффициент теплопроводности воды, Вт/(м∙К).
Рассмотрим некоторые зависимости типа (1.5), учитывающие только прямое влияние тепловых потерь в периоде отрицательных температур воздуха, вне зависимости от других факторов и влияния снежного покрова на льду.

1.

�� = −14��(1+0,5��),

(1.7)

где δ – скорость намораживания льда, мм/час; t – температура морозного воздуха, К; ϖ – скорость ветра, м/с [37]. Формула (2.5) не учитывает границы применимости формулы по толщине льда и интервалы погрешностей в пределах этих границ.

2.

= 2,

(1.8)

где – толщина льда, м; Σ(−) – сумма отрицательных температур за исследуемый период, К [38].

3.

= 0,695 [Σ(−)],

(1.9)

где Σ(−) – сумма отрицательных температур за исследуемый период, К [39].

4.

= 2,704

(1.10)

где Σ(−) – сумма отрицательных температур за исследуемый период, К [40].
Все вышеперечисленные формулы с разной степенью точности позволяют оценить толщину льда в непроточных природных водоемах. Но каждая формула, полученная автором, носит в основном локальный характер.
Многие формулы для расчета толщины льда на водоемах по теоретическому методу используют две исходные дифференциальные формулы, полученные из условия Стефана:

(1.11)

где τ – время, с; – суммарная теплоотдача в атмосферу с поверхности льда, включающая в себя теплоотдачу конвекцией, излучением и испарением, Вт/(·К); q – теплоприток к нижней поверхности льда от воды, Дж/с; L – удельная теплота плавления льда, Дж/кг; – плотность льда, кг/м³.
Эти уравнения имеют следующий вид:

(1.12)

(1.13)

где – температура наружной поверхности льда, К; – эквивалентная температура окружающего воздуха надо льдом, К; – коэффициент теплопередачи, зависящий от теплоотдачи с поверхности снежного покрова, Вт/(·К); – эквивалентная толщина льда, при наличии снега на поверхности льда, м.

(1.14)

где и – коэффициенты теплопроводности льда и снега, Вт/(м·К); – высота снежного покрова, м.
После интегрирования и преобразований формул (1.12; 1.13) при нижеперечисленных граничных условиях получают конечные формулы для расчета толщины льда (температура воздуха надо льдом отрицательна и в назначенный отрезок времени постоянна, температура воды под льдом по всей глубине постоянна и равна нулю, теплопритоки от боковых стен и дна отсутствуют).
Например, формула Хилькевича С.С. [46]:

(1.15)

где L – параметр, зависящий от температуры воздуха, но независящий от толщины льда и времени.
Со стороны практического применения математическую модель можно применять при расчетах льдогенератора и толщины промороженного слоя на реках в зимний период, предназначенные для переправ людей и технике [47].