Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

2.2. Расчетно-теоретическая модель процесса замораживания сферического слоя воды при внешнем воздействии потока воздуха с отрицательной температурой

2.2.1. Расчетная модель промерзания сферического слоя воды с использованием стационарного распределения температур на основе гипотезы проф. Лейбензона Л.С.

Первая расчетная модель промерзания сферического слоя выведена с использованием предположения о стационарном распределении температур в слое (подход проф. Лейбензона Л.С.) [51].
Рассмотрим теплообмен капли воды пребывающей в среде воздуха, имеющего отрицательную температуру.
Обозначим радиусом R геометрический размер капли, температуру воздуха считаем постоянной и равной .
Примем сферическую систему координат с началом отсчета в центре капли (Рисунок 2.3.). Обозначим символом координату фронта фазового превращения. Толщина слоя водного льда в капле меняется со временем . Коэффициент теплоотдачи от воздуха к поверхности сферы постоянен.

Рисунок 2.3. Схема термического взаимодействия сферической капли воды, находящейся в охлаждающей среде с отрицательной температурой
Начальную температуру капли примем равной температуре фазового перехода .
Граничные условия со стороны воздуха:

(2.6)

где – коэффициент теплопроводности льда при температуре фазового перехода , = 2,3 Вт/(м·К); – коэффициент теплоотдачи от охлаждаемой среды к поверхности капли, Вт/(·К); r – текущая координата в слое льда, .
Граничное условие теплового взаимодействия лед – вода (внутри капли):

(2.7)

где L – теплота фазового перехода воды в лед, L = 334 кДж/кг; – плотность льда, = 917 кг/.
Следуя рекомендациям профессора Лейбензона Л.С., примем распределение температур в сферическом слое изо льда в соответствии с законом стоционарного распределения:

,

(2.8)

где – температура наружной поверхности стенки капли, К.
После дифференцирования уравнения (2.8), получаем:

(2.9)

Подставляя выражение (2.9) в условие теплового взаимодействия (2.7), произведем интегрирование результата. Выделив из полученного уравнения значение температуры наружной поверхности намороженного слоя , приходим в соотношение вида:

(2.10)

Выполняя аналогичные действия с уравнением (2.9) по отношению к граничному условию (2.6), легко прийти к другому выражению для температуры :

(2.11)

Приравнивая уравнения (2.10) и (2.11) и производя соответствующие преобразования получаем рабочее уравнение для нахождения времени формирования в охлаждаемой капле слоя льда толщиной :

(2.12)

где R – радиус капли, м; η – координата фронта фазового превращения, м; – температура фазового перехода вода-лед, =273 К; – температура воздуха, подаваемая воздухоохладителем, К; τ – время замерзания заданного слоя заморозки, c.
На Рисунке 2.4. представляен график характерных зависимостей относительной толщины () промерзания водной среды сферической формы от времени по математической модели (2.12).
Рисунок 2.4. Зависимость относительной толщины () промерзания капли от времени (). Исходные данные: d = 20 мм, T = 263 °С, V = 5 м/с
Формула (2.12) позволяет вести расчеты для зоны замораживания капли до 30% глубины ее радиуса.
2.2.2. Расчетная модель промерзания сферического слоя воды на основе решения нестационарного уравнения теплопроводности Фурье (информационный подход)
Рассмотрим сферическую каплю воды (Рисунок 2.5.) радиусом R помещенную в среду воздуха с отрицательной фиксированной температурой T_в и заданной интенсивностью теплоотвода с поверхности капли, которая характеризуется заданным коэффициентом теплоотдачи α_в.

Рисунок 2.5. Схема термического взаимодействия капли воды с охлаждающей средой воздуха
Для решения задачи считаем, что на границе раздела вода – воздух внутри капли постоянно поддерживается температура фазового перехода 0 ⁰С или 273К. Координату границы фазового перехода обозначим как η. Во внутреннем пространстве, ограниченном радиусом η температура воды равна температуре фазового перехода Т_w = T_ф и конвективного движения воды не существует.
Нестационарное дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье для шарового слоя имеет вид:

(2.13)

где a – коэффициент температуропроводности для льда с околонулевой температурой. Принимаем a = 1,163·10^-6 .
Краевые условия примут вид:

T(R,τ) =

(2.14)

где Т – температура поверхности капельной сферы Т_п, которая меняется со временем.

T(r,0) = Tw = Tф	(2.15)
T(η,τ) = 273 К		(2.16)

Тепловое условие на границе лед – вода:

(2.17)

где λ – коэффициент теплопроводности водного льда при околонулевой температуре, λ = 2,3 Вт/м·К.
Примем к уравнению (2.13) подстановку:

T(r,τ) = T(ν),

(2.18)

где – обобщающая переменная, .
Соответственно при r = R; значение ν примем:

(2.19)

Следуя изложенному уравнению (2.13) примет вид:

(2.20)

Условие (2.17) примет вид:

(2.21)

Общее решение задачи ищем в виде ряда:

(2.22)

При ν = 0:

T(ν)=Tф

(2.23)

При ν = β:

T(ν) = Tст

(2.24)

Принимая во внимание условие (2.21,2.23 и 2.24) решение задачи получаем в виде:

(2.25)

где β – является переменным коэффициентом, значение которого определяет глубину промораживания капли и находится для каждого момента времени τ.
Уравнение (2.25) является решением задачи для постоянного значения температуры поверхности капли T_ст. В условиях охлаждения воздухом (низкая интенсивность теплового воздействия) температура поверхности капли меняется по мере увеличения толщины слоя льда.
Температуру Т_ст можно найти воспользовавшись граничным условием со стороны воздуха:

(2.26)

В рамках приближенного решения задачи функцию распределения примем как для шарового слоя в стационарных условиях:

(2.27)

Производя соответствующие преобразования, можно прийти к уравнению вида:

(2.28)

Выразив координату фронта фазового превращения η в терминах переменного коэффициента β получаем:

(2.29)

Подставив в уравнение (2.29) выражение (2.28) получаем окончательное уравнение [45]:

(2.30)

На Рисунке 2.6. представляен график толщины промораживания водной среды сферической формы от времени по математической модели 2.30.
Рисунок 2.6. Зависимость относительной толщины () промерзания капли от времени (). Исходные данные: d = 20 мм, T = 265 °С, V = 5 м/с
Характер изменения графика роста толщины слоя льда по модели 2.30 согласуется с физическим представлением о процессе.
2.3. Расчетная модель оттаивания ледяной сферы
Дифференциальное уравнение теплового баланса имеет вид (2.31), левая часть вода отепленная, которая подлежит охлаждению, правая часть выражает скорость таяния сферической оболочки. Уравнение (2.32) связывает среднюю температуру воды омывающей сферу со льдом и температуру фазового перехода согласно уравнению стационарного теплообмена. Оба уравнения решаются совместно. В итоге получаем время таяния сферы слоя толщиной .

	(2.31)

(2.32)

где – расход воды, кг/с; – теплоемкость воды, = 4187 Дж/(кг·К); – начальная температура воды, К; – конечная температура воды, К; – радиус ледяной сферы, м; – толщина размороженного слоя, м; – плотность льда, =917 кг/; L – теплота плавления льда, L=334 кДж/кг; ; – температура фазового перехода вода-лед, =273К; – средняя температура воды, К; Q – тепловая нагрузка, Дж; F – площадь тающей сферы, ; – теплоотдача от воды, Вт/(·К).

(2.33)

где – время оттаивания заданного слоя, с.
Из уравнения (2.32):

(2.34)

На Рисунке 2.7. представляен график зависимости времени слоя оттаивания ледяной сферы от толщины по математической модели (2.33).
Рисунок 2.7. Зависимость времени () оттаивания ледяной сферы от толщины (): Исходные данные: = 36 мм; =284 К; G = 0,0004 кг/с
Характер изменения графика оттаивания толщины слоя льда по модели 2.33 согласуется с физическим представлением о процессе.

Глава 3. Описание экспериментальных установок и методика проведения опытов. Оценка погрешности выполнения опытов

3.1. Описание экспериментальной установки по замораживанию водонасыщенной сферы
Для подтверждения адекватности математической модели – замораживание водонасыщенной насадки, составленной в пункте 2.2, на кафедре «Техника низких температур» им. П.Л. Капицы Университета Машиностроения была изготовлена экспериментальный стенд (Рисунок 3.1.), с помощью которого можно проводить исследование процессов замораживания холодоаккумуляционной насадки, витающей в потоке воздуха.

Рисунок 3.1. Схема экспериментальной установки: 1 – вентилятор; 2 – камера стабилизации; 3 – сопло; 4 – сетка; 5 – ячеистая перегородка; 6 – рабочий канал;
7 – опытный элемент; 8 – термопарный датчик температур; 9 – задвижка;
10 – компрессорно-конденсаторный агрегат
Эксперименты проводились при следующих условиях:

• 
  скорость потока воздуха – = 9 – 13 м/с;
  
• 
  объект исследования – холодоаккумуляционная сферическая насадка d = 18 – 22 мм;
  
• 
  исследуемое вещество – очищенная вода с околонулевой температурой;
  
• 
  температура потока воздуха по мокрому термометру – = – 0,5 – 15°С
  

Эксперимент проводился с постоянной температурой холодного воздуха в камере, оснащенной компрессорно-конденсаторным агрегатом, работающим на хладагенте R22. Рабочее пространство камеры объемом 8 снабжено подвесным воздухоохладителем.
По принципу действия опытный стенд представляет частично замкнутую аэродинамическую трубу (Рисунок 3.2.). Основными ее элементами являются: радиальный вентилятор, холодильная камера, теплоизоляционный материал, камера стабилизации, сопло, рабочая трубка и измерительные устройства.

Рисунок 3.2. Фотография экспериментальной установки
Движение воздуха в установке обеспечивается шумоизолированным радиальным вентилятором. Расход и скорость воздуха регулируется при помощи задвижки (9). Нагнетаемый вентилятором воздух подается в главную секцию, которая изготовлена из органического стекла и имеет цилиндрическое сечение диаметром 270 мм и толщиной 15 мм.
Охлажденный, в холодильной камере, воздух, проходя через вентилятор (1), подается в камеру стабилизации (2), где происходит выравнивание потока воздуха, а так же затухание завихрений воздушного потока, вызванным прохождение потока через вентилятор. В сопле (3) за счет преобразования потенциальной энергии в кинетическую возрастает скорость движения воздуха до заданной величины. Здесь же, как и в других элементах установки, обеспечивается стабилизация потока воздуха. На входе и на выходе сопла устанавливаются пластмассовые сетки (4) для устранения турбулентных вихрей и пульсаций скорости [45].
Для этой же цели используется и ячеистая перегородка (5), выполненная из трубок d = 6х0,2 мм и h = 20мм. При прохождении воздуха через эту перегородку поток разделяется на множество струй с ламинарным режимом течения внутри трубок, вследствие чего происходит устранение оставшихся завихрений [45].
Холодоаккумуляционная насадка находится в подвешенном состоянии в потоке воздуха внутри измерительного участка (6), который был выполнен из органического стекла, что позволяло осуществлять наблюдение за витанием (колебаниями) насадки. Трубка использовалась с размерами d = 45х15 мм h = 300 мм. Далее, насадка вынималась и производились замеры промороженной части (Рисунок 3.3.).

Рисунок 3.3. Замер промороженной части насадки
Устройство устанавливалось в строго горизонтальном состоянии. Конструкция установки отрабатывалась в ходе предварительных экспериментов.
При проведении опыта измерялись следующие величины:

• 
  Температура воздуха в объеме насадки;
  
• 
  Размер насадки;
  
• 
  Скорость потока воздуха в районе расположения витания насадки;
  
• 
  Время протекания процесса;
  
• 
  Относительная влажность воздуха;
  
• 
  Толщина промороженного слоя насадки.