Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarning taqsimotlari

6.1– misol.
Nishonga qarata uchta o’q uzildi. Bitta o’q uzishda nishonga 
tekkizish ehtimolligi 
4
,
0

p
. 
X
tasodifiy miqlor – nishonga tegishlar soni. Uning 
taqsimot qonunini yozing. 
Yechilishi.
X
tasodifiy miqdor binomial taqsimotga ega va uning mumkin 
bo’lgan qiymatlari 0, 1, 2 va 3. Shuning uchun





 

.
6
,
0
4
,
0
!
3
!
!
3
3
k
k
k
k
k
X
P






Bundan








.
064
,
0
3
;
288
,
0
2
;
432
,
0
1
;
216
,
0
0








X
P
X
P
X
P
X
P
X
tasodifiy miqdorning taqsimoti ushbu ko’rinishda bo’ladi: 
064
,
0
3
288
,
0
2
432
,
0
1
216
,
0
0




X
. 
2. Asosiy sonli xarakteristikalar
. Binomial taqsimlangan 
X
tasodifiy miqdorni 
har birida 
A
hodisaning ro’y berish ehtimolligi 
p
ga teng bo’lgan 
n
ta bog’liqmas 
sinovda ro’y berishlar soni deb qarash mumkin bo’lganligi uchun uni bog’liqmas 
tasldifiy miqdorlar yig’indisi ko’rinishda bo’nday ifodalaymiz: 
,
...
2
1
n
X
X
X
X




bu yerda 

i
X
shu 
A
hodisaning 

i
sinovda ro’y berish soni 


n
i
,....,
2
,
1

. Ilgari 
biz 
 
 
pq
X
D
p
X
M
i
i


,
bo’lishini ko’rsatgan edik. Shu sababli
 


 




 


 




 
.
,
...
...
...
,
...
....
...
2
1
2
1
2
1
2
1
npq
X
npq
pq
pq
pq
X
D
X
D
X
D
X
X
X
D
X
D
np
p
p
p
X
M
X
M
X
M
x
X
X
M
X
M
n
n
n
n





























6.2. Puasson taqsimoti 

---

3
 
1. Agar 
X
tasodifiy miqdor 0, 1, 2, ….., 
,...
k
qiymatlarini 




0
!








e
k
k
X
P
p
k
k
ehtimolliklar bilan qabul qilsa, ya’ni uning taqsimoti 
....
...
!
...
....
...
!
2
...
2
1
0
2

















e
k
k
e
e
X
k
ko’rinishda bo’lsa, u Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan deb ataladi. 
Ehtimolliklar yig’indisi 1 ga tengligini tekshirish qiyin emas: 
.
1
...
!
..
!
2
1
...
!
...
!
2
2
2










































e
e
k
e
e
k
e
e
e
k
k
Quyidagi isbotlash mumkin: agar Bernulli sxemasida sinovlar soni 
n
yetarlicha katta, 
p
ehtimollik esa, kichik 


1
,
0

p
bo’lsa, u holda ushbu taqribiy 
formula o’rinli: 


,
!





e
k
k
X
P
k
bunda 
np


(*) 
Shunday qilib, binomial taqsimot sinovlar soni katta bo’lganda Puasson 
taqsimotiga yaqinlashadi. 
6.2-misol. 
800 ta urchuqning har biriga 

vaqt ichida ipning uzilish 
ehtimolligi 0,005 ga teng. Ko’rsatilgan vaqt ichida rosa 4 ta ip uzilish ehtimolligini 
toping. 
Yechilishi.
Bu masalani yechishda 
(*)
formulani qo’llash mumkin: chunki 
800

n
sonini katta, 
005
,
0

p
eqtimolligini esa kichik deb hisoblash mumkin. Bu 
formuladan foydalanib topamiz, 
;
4
005
,
0
800




np

 
.
1952
,
0
0183
,
0
24
256
!
4
4
4
4
4
800





e
P
Aniq formula bo’yicha hisoblash 0,1959 ni beradi, demak, Pausson formulasini 
qo’llanishdagi xatolik 0,0007 bo’ladi. Laplas lakl formulasi bo’yicha hisoblash bilan 
esa 0,2000 ni hosil qilamiz, demak xatolik 0,0051 bo’ladi, ya’ni Puasson 
formulasidan foydalanilganidan ko’ra 6 marta ortiq bo’ladi. 
2. Asosiy sonli xarakteristikalari
. 
 



































e
e
k
e
e
k
k
k
X
P
X
M
k
k
k
k
k
0
1
1
!
1
1
!

---

4
 




















.
!
2
2
!
1
1
!
1
1
1
!
1
1
1
1
!
1
1
!
2
2
2
1
1
1
0
1
2
2
2


































































































e
e
e
e
k
e
k
k
k
e
k
k
e
k
k
e
e
k
k
k
X
P
k
X
M
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
 
 
 


 













X
X
M
X
M
X
D
,
2
2
2
2
. 
Shunday qilib, 
 
 
 







X
X
D
X
M
,
,
. 
Puasson taqsimotida tasodifiy miqdorning dispersiyasi uning matematik 
kutilishiga teng. 
 
6.3. Tekis taqsimot 
 
6.3
-ta’rif.
Tekis taqsimlangan X uzluksiz tasodifiy miqdor deb 
zichligi biror 
]
,
[
b
a
kesmada o’zgarmas va 


a
b

/
1
ga tang, bu kesmadan tashqari esa nolga teng, 
ya’ni 
 












áóëñà
b
x
àãàð
0,
áóëñà,
àãàð
,
a
-
b
1
áóëñà,
a
x
àãàð
,
0
b
x
a
x
f
bo’lgan tasodifiy miqdorga aytiladi. 
 





1
dx
x
f
ekanligini tekshirish oson. Haqiqattan,
 

















b
a
b
a
a
b
a
b
x
a
b
dx
a
b
dx
x
f
.
1
1
1
1
Tekis taqsimot uchun 
 
x
F
taqsimot funksiyasini topamiz. Agar 
b
x
a


bo’lsa, u holda 
 
 












x
x
a
x
a
a
b
a
x
t
a
b
dt
a
b
dt
t
f
x
F
1
1
. 
Ravshanki, 
a
x

da 
 
b
x
x
F


,
0
da 
 
1

x
F
. Shunday qilib,
 












булса
b
x
агар
0,
булса,
агар
,
a
-
b
1
булса,
a
x
агар
,
0
b
x
a
x
f
2. Asosiy sonli xarakteristikalari: 

---

5
 
 


 
 


 
 
 


 
.
3
2
,
12
2
3
,
3
3
1
1
,
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
a
b
X
b
a
b
a
b
ab
a
X
M
X
M
X
D
b
ab
a
x
a
b
dx
a
b
x
dx
x
f
x
X
M
b
a
x
a
b
dx
a
b
x
dx
x
xf
X
M
b
a
b
a
b
a
a
b
a










































