Diffrensial tenglama sistemasi. Normal sistema. Noma’lumlarni yo’qotish usuli. Diffrensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari

Diffrensial tenglama sistemasi. Normal sistema. Noma’lumlarni yo’qotish usuli.Diffrensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari(Eyler Runge-Kutta ketma-ket yaqinlashish Adams metodi Teylor formulasi) Diffrensial tenglamalarni variatsiya usulida yechish.

 .

•  .

Kо’рchilik hоllаrdа birоrtа jаrаyоn yоki hоdisаlаrni tаvsiflаsh uchun bir nеchtа funktsiyalаr tаlаb еtilishi mumkin. Bu funktsiyalаrni izlаsh sistеmа tаshkil еtаdigаn bir nеchtа diffеrеnsiаl tеnglаmаlаrgа оlib kеlаdi. Bundаy sistеmаgа differensial tenglamalar sistеmаsi dеyilаdi. Hоsilаning tаrtibigа qаrаb bu sistеmа birinchi, ikkinchi vа n - chi tаrtibli tеnglаmаlаr sistеmаsi bо’lishi mumkin. Kо’р mаsаlаlаrni yеchishdа t аrgumеnt, nоmа’lum x1, x2, ..., xn funktsiyalаr vа ulаrning hоsilаlаrini о’z ichigа оlgаn diffеrеnsiаl tеnglаmаlаr sistеmаsini qаnоаtlаntiruvchi x1=x1(t), x2=x2(t), ..., xn=xn(t) funktsiyalаrni tорish tаlаb еtilаdi.

Normal sistema

Nomalumlarni yoqotish usuli(Gaus)

•  Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar yoki Kramer usulida yechishda bevosita berilgan (1) 
• sistemaning o‘zi bilan ish ko‘riladi. Endi qaralayotgan Gauss usulida esa berilgan 
• (1) sistema boshqa bir sistemaga keltiriladi shu sababli bizga quyidagi tushuncha 
• kerak bo‘ladi. Agar ikkita chiziqli tenglamalar sistemalarining yechimlar to‘plami 
• o‘zaro teng bo‘lsa, ular ekvivalent (teng kuchli) sistemalar deyiladi. 

Diffrensial tenglamalarni taqribiy usulida yechish( Eyler Runge-Kutta ketma-ket yaqinlashish Adams metodi Teylor formulasi

• EYLER:

Ushbu bo’limning yuqori paragraflarida ko’rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo’lib, bu hollarda yechimlar analitik (formula) ko’rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan yechimni aniqlik darajasi haqida yuritish birmuncha murakkab bo’ladi.Masalan, ketma-ket differensiallash usulini qo’llaganda qatorning juda ko’p hadlarini hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda shu qatorni umumiy hadini aniqlab bo’lmaydi. Pikar algoritmini qo’llaganimizda esa, juda murakkab integrallarni hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda integral ostidagi funktsiyalar elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechganda, yechimlarni formula ko’rinishida emas, balki jadval ko’rinishida olingani qulay bo’ladi.
Differensial tenglamalarni sonli usullar bilan yechganda yechimlar jadval ko’rinishida olinadi. Amaliy masalalarni yechishda ko’p qo’llanadigan Eyler va Runge–Kutta usullarini ko’rib chiqamiz.

Runge-Kutta

•  oddiy differensial tenglamalar va tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasini yechishda qoʻllaniladigan sonli usullar toʻplami. Ilk marta 1900-yili nemis matematiklari Carl Runge va Wilhelm Kutta tomonidan taklif qilingan.
• Runge–Kutta usullari toʻplamiga Eulerning oshkor usuli va Eulerning modifikatsiyalangan usullari kiradi. Ushbu usullar mos holda birinchi va ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar hisoblanadi. Bundan tashqari uchinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan standart oshkor usullar ham mavjud, biroq ular keng tarqalmagan. Koʻplab matematik paketlar (Maple, MathCAD, Maxima) da toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan klassik Runge–Kutta usuli qoʻllaniladi. Yuqori aniqlikdagi hisob-kitoblar zarur boʻlganda beshinchi va oltinchi tartibli aniqlikka ega boʻgan usullardan foydalaniladi. Aniqlik tartibi ortib borgani sari ushbu usulda hisoblash sxemasi ham murakkablashib boradi.

Adams metodi

• Integrallarni taqribiy hisoblash va differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari-dan biri. J. Adams tomonidan 1855-yilda taklif etilgan. Tenglamalarni Adams usuli da yechish odatda jadvallar shaklida bajari-ladi.

Teylor formulasi

Funksiyaning x0 nuqta atrofidagi qiymatini "darajali koʻphad va qoddiq had yigʻindisi shaklida ifodalovchi formula. Ingliz matematigi B. Teylor (1685—1731)
Teylor formulasi qoldiq hadi yozilishining turli ko‘rinishlari mavjud. Biz uning Lagranj ko‘rinishi bilan tanishamiz.
Qaralayotgan funksiya nuqta atrofida –tartibli hosilaga ega bo‘lsin deb talab qilamiz va yangi funksiyani kiritamiz

Diffrensial tenglamani variatsiya usulida yechish