Differensiallari

MAVZU: IKKI O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYANING
DIFFERENSIALLARI


Reja:

• 
  Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari.
  
• 
  Yo‘nalish bo‘yicha hosila
  
• 
  Ikki o‘zgaruvchili funksiya differensiallari
  
• 
  Yuqori tartibli differensiallar.
  

Bir o‘zgaruvchili funksiya xususiyatlarini o‘rganishda va juda ko‘p masalalarni yechishda funksiyaning hosilasi muhim ahamiyatga ega ekanligini ko‘rib o‘tgan edik. Shu sababli bu tushunchani ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ham aniqlash masalasi bilan shug‘ullanamiz. Bunda ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun kiritiladigan tushunchalar va keltiriladigan tasdiqlar deyarli o‘zgarishsiz ikkidan ortiq o‘zgaruvchili funksiyalar uchun ham umumlashtirilishi mumkinligini yana bir marta ta’kidlab o‘tamiz.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Bir o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi ∆f funksiya orttirmasining ∆x argument orttirmasiga nisbatining ∆x→0 bo‘lgandagi limiti kabi aniqlanishini eslatib o‘tamiz. Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ham hosila tushunchasini shunday tarzda kiritamiz.
Berilgan z=f(x,y) funksiya biror D sohada aniqlangan va M(x,y) shu sohaning ichki nuqtasi bo‘lsin. Bu nuqtaning x abssissasiga x orttirma berib, y ordinatani o‘zgartirmay qoldiramiz. Bunda hosil bo‘ladigan N(x +x,y) nuqta ham D sohaga tegishli deb hisoblaymiz. Bu holda z=f(x,y) funksiyaning o‘zgarishi
_x f = f (x+x , y) – f (x, y),
ya’ni x argument bo‘yicha xususiy orttirma orqali ifodalanadi.
TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning х bo‘yicha _х f xususiy
orttirmasining x argument orttirmasiga nisbati x→0 bo‘lganda chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit qiymati funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasi deb ataladi.
Bu hosila

kabi belgilardan biri bilan belgilanadi. Bunda indeks yoki maxrajdagi x belgi hosila x argument bo‘yicha olinayotganligini ifodalaydi. Ta’rifga ko‘ra
. (1)
Bu yerda _x f xususiy orttirma faqat x hisobiga o‘zgarib, unda y o‘zgarmas bo‘ladi. Shu sababli xususiy hosila bir x o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi singari aniqlanadi. Bundan z=f(x,y) funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasini hisoblashda ikkinchi y o‘zgaruvchini o‘zgarmas son kabi qarash kerakligi va oldin ko‘rib o‘tilgan hosilalar jadvali hamda differensiallash qoidalaridan foydalanish mumkinligi kelib chiqadi.
Masalan,


.
Xuddi shunday tarzda z = f (x,y) funksiyaning

kabi belgilanadigan у bo‘yicha xususiy hosilasi kiritiladi:
. (2)
Yuqoridagi misolda x o‘zgaruvchini o‘zgarmas deb qarab, y bo‘yicha xususiy hosilani hisoblaymiz:


Yana bir misol sifatida

funksiyaning xususiy hosilalarini hisoblaymiz:

.
Bir o‘zgaruvchili funksiya hosilasining gеomеtrik mazmuniga o‘xshash ikki o‘zgaruvchili z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalarining ham gеomеtrik mazmuni mavjud. Yuqorida aytilgandek, bu funksiya grafigi biror S sirtni ifodalaydi. Bu sirtga tegishli M₀(x₀, y₀) nuqtani qaraymiz. Bu holda f(x,y₀)=φ(x) bir o‘zgaruvchili funksiya bu S sirtni y=y₀ tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan biror L chiziqni ifodalaydi. Shu sababli x bo‘yicha xususiy hosilaning son qiymati L chiziqqa M₀(x₀, y₀) nuqta o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini ifodalaydi.
Demak, bo‘lib, bunda α burchak S sirtni y=y₀ tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan L chiziqqa M₀(x₀, y₀) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning OX koordinata o‘qi bilan hosil etgan burchakni ifodalaydi. Xuddi shunday, soni S sirtni x=x₀ tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan G chiziqqa M₀(x₀, y₀) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini ifodalaydi.
Bir o‘zgaruvchili funksiya M₀(x₀) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, unda bu nuqtada uzluksiz bo‘lar edi. Ammo ikki o‘zgaruvchili funksiyaning M₀(x₀, y₀) nuqtada xususiy hosilalari mavjudligidan uni bu nuqtada uzluksizligi har doim ham kelib chiqmaydi.
Masalan,

funksiya O(0,0) nuqtada uzlukli ekanligini ko‘rgan edik.
Ammo f(x,0)≡0 va f(0,y)≡0 bo‘lgani uchun bu funksiyaning O(0,0) nuqtada ikkala
xususiy hosilalari mavjud va , bo‘ladi.
Berilgan z=f(x,y) funksiyaning

xususiy hosilalari mavjud bo‘lsin. Bu holda ular х vа у o‘zgaruvchilarning funksiyalari bo‘ladi va shuning uchun ulardan yana xususiy hosilalar olish mumkin. Agar bu xususiy hosilalar mavjud bo‘lsa, unda