Differensial va integral hisob

Hosila tushunchasi. Differensiyallash qoidalari. Hosilasini tatbiqi.
y=f(x) funksiya (а,в) oraliqda aniqlangan bo’lsin. (а,в) intervalga tegishli х₀ va х₀ + ∆ х nuqtalarni olamiz.y=f(x) funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlari y=f(x₀) va y=f(x₀+∆х) dan funksiyaning ∆у=f(x₀+∆х)-f(x₀) оrttirmasini tuzamiz, u argument ∆х ga o’zgarganda funksiya qanchaga o’zgarganini ko’rsatadi. ∆у/∆х nisbatni qaraymiz uni аrgument ∆х gа o’zgarganida funksiyaning o’rtacha o’zgarishi deb ataladi.
Та’rif: Funksiya orttirmasi ∆у ning argument orttirmasi ∆х gа nisbatining ∆х nolga intilgandagi limiti u=f(x) funksiyaning х₀ nuqtadagi hosilasi deyiladi .
f(x₀+ ∆x)-f(x₀)
f^``(x₀) = ∆y/∆x= ∆x Аgar bu limit mavjud bo’lsa
(ya’ni chekli songa teng) bo’lsa, hosila х₀ nuqtada mavjud deb ataladi. Hosilani topish jarayoni differensiyallash deb ataladi.
Differensiyallashning asosiy qoidalari.

1. 
   O’zgarmas sonni hosilasi nolga teng.
   

С`=0

2. 
   Yig’indi, кo’paytma va bo’linmani hosilasi
   

a) (u+v)` = u`+v`

б) (u.v)` = u`v + uv`

в)
3) o’zgarmas ko’paytuvchini hosila belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
(СU)` = C · U` C-o’zgarmas son.
Тrigonometrik funksiyalarni hosilalari

(sinx)` = cosx

(cosx)` = - sinx
1
(tgx)`=
cos²x
1
(ctg x)` = -
sin <sup>2</sup>x
1
Logarifmik funksiyani hosilasi (log<sub>a</sub>x)` =
x ln x
x
Кo’rsatkichli funksiyani hosilasi (e^x)` = е<sup>х</sup>;
Теskari trigonometric funksiyalarni hosilalari.
1 1
(arcsinx)` = ; (arctgx)` = -
√1-x² 1+x ²


1 1
(arccosx)` = - ; (arcctgx)` =
√1-x² 1+x ²

1-misol: у=(х³-1) (3х+5) ni hosilasini toping.

Yechish: у= 3х⁴-3х+5х³-5 = 3х⁴+5х³-3х-5

У`= (3х<sup>4</sup>-3х+5х<sup>3</sup>-5)` = (3х⁴)`+(5х<sup>3</sup>)`-(3х)`-(5)`= 3(х⁴)`-(3х)`+5(х³)`-(5)` = 12x³+15x²-3;

Х²
2-misol. у= ni hosilasini toping.
1+х
x² ( x²)`.(1+x)-(1+x)`.x² 2x(1+x)-x² 2x+2x²-x²
y`= ( ) ` = = = =
1+x (1+x)² (1+x)² (1+x)²
x²+2x x(x+2)
= =
(1+x)² (1+x)²

3-misol. у= 5 cos 6x ni hosilasini toping.

y`= (5cos6x)` = 5(cos6x)` = 5 (-sin6x) (6x)` = -5 sin6x.6 = -30 sin6x

4-misol. y= e^cosx ni hosilasini toping.

у` =( e<sup>cosx</sup>)` = e^cosx(cosx)` = - e^cosx.sinx

5-misol .y= arcsin 10 x hosilasini toping.

1 10
y` = (arcsin 10 x)`= .(10x)`=

√1- (10x)² √1- 100x²