Diffеrеnsial tеnglamalarni yechishning o‘zgarmasni variatsiyalash usuli Lagranj usuli

Misol. Ushbu

tenglamaning xususiy yechimi topilsin.

Yechish.

Tenglamaning xususiy yechimi:

boʻladi.

Tenglamaning xususiy yechimi

boʻladi. Berilgan tenglamaning xususiy yechimi:

boʻladi.
2.Ostragradskiy-liuvill formulasi

Ostragradskiy-Liuvill formulasi chiziqli bir jinsli tenglama yechimlari sistemasining Vronskiy determinanti bilan bu tenglamaning koeffitsiyentlarini bogʻlaydi. Bu formulani ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglama boʻlgan xususiy hol uchun koʻrsatamiz:

Agar fundamental Sistema boʻlsa, u holda

Birinchi tenglikning hadlarini ga, ikkinchi tenglikning hadlarini ga koʻpaytirib va ikkinchisidan birinchisini ayirib, topamiz:

(6)

Bu yerda – Vronskiy determinant, – Vronskiy determinant hosilasi. Natijada (*) tenglik quyidagi koʻrinishga keladi:

(7)

(7) tenglamaning yechimini oʻzgaruvchilarni ajratib topamiz:

chunki yechimlar sistemasi fundamentaldir. Integrallaymiz:

(8)

Endi (7) tenglamaning

Boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topamiz. Ularni umumiy yechimga qoʻyib topamiz:

(9)

(8) ifodani (9) ifodaga boʻlamiz:

Bu yerdan

(10)

ekani ravshan.

(10) formula Oatragradskiy-Liuvill formulasi deyiladi. Ushbu formula nafaqat ikkinchi tartibli, balki istalgan tartibli tenglama uchun ham oʻrinlidir. Ushbu formula ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglamaning bitta xususiy yechimi maʻlum boʻlganda uning umumiy yechimini topishga imkon beradi.

Misol. , tenglamaning yechimi maʼlum boʻlsa, uning umumiy yechimini toping?

Tenglamani x ga boʻlib qaytadan yozamiz:

almashtirish bajaramiz: bu yerdan

Xususiy yechimni izlayotganimiz uchun: deb olsak, ni hosl qilamiz.Ikkita: lar boʻlgani uchun chiziqli erkli. Ular fundamental sistema tashkil etadi, shuning uchun berilgan tenglamaning umumiy yechimi

funksiyadan iborat boʻladi.