Diffеrеnsial tеnglamalarni yechishning o‘zgarmasni variatsiyalash usuli Lagranj usuli

1-teorema. Chiziqli bir jinsli boʻlmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi bu tenglamaning xususiy yechimi va mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi yigʻindisidan iborat.

Bir jinsli boʻlmagan tenglamaning umumiy yechimini topishning umumiy usuli – Lagranjning ixtiyoriy oʻzgarmaslarni variatsiyalash usulini qarab chiqamiz:

Bir jinsli tenglama (2) ning umumiy yеchimi tuzamiz:

(3)

Bir jinsli boʻlmagan (1) tenglamaning umumiy yechimini larni х ning funksiyasi deb, yuqoridagi shaklda yechimni izlaymiz: . (4)

Bu funksiyalarni shunday topish talab qilinadiki, (4) yechim (1) tenglamani qanoatlantirsin. Quyidagi tеnglamalar sistеmasini tuzamiz.
(5)
Nomaʼlum lardan iborat bu tenglamalar sistemasi yechimga ega, chunki sistemaning larning oldilaridagi koeffitsiyentlaridan tuzilgan bosh determinant chiziqli erkli xususiy yechimlarning Vronskiy determinantidan iboratdir. Maʼlumki, bunday determinant chiziqli erkli funksiyalar uchun noldan farqlidir.

Shunday qilib, (5) Sistema larga nisbatan yechilishi mumkin. Ularni topib integrallaymiz:

…………………………

Bu yerda - lar integrallash oʻzgarmaslari. Sistеmadan larni topib (4) tеnglikka qo‘ysak (1)-tеnglamaning umumiy yеchimi ni topamiz.

Bir jinslimas ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama

(1)

berilgan boʻlsin. Bunday tenglama umumiy yechimining tuzilishi quyidagi teorema bilan aniqlanadi:

Teorema. Bir jinslimas (1) tenglamaning umumiy yechimi bu tenglamaning biror y* xususiy yechimi bilan mos bir jinsli

(*)

tenglamaning umumiy yechimi yigʻindisi kabi ifodalanadi: .

Yuqorida keltirilgan algoritmni xususiy holda o‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan diffеrеnsial tеnglamaga qo‘llaymiz, (*) tenglamaning umumiy yechi

bo‘lsin. va larni x ning hozircha nomaʼlum funksiyalari deb hisoblab, bir jinslimas tenglamaning umumiy yechimini

(**)

koʻrinishda izlaymiz. Buni differensiallaymiz:

va funksiyalarni

tenglik bajariladigan qilib tanlab olamiz. Agar bu qoʻshimcha shartni eʻtiborga olsak, u holda birinchi tartibli hosila :

koʻrinishda boʻladi. Endi bu ifodani differensiallab ni topamiz:

larni (1) tenglamaga qoʻyamiz:

yoki

Tenglikni hosil qilamiz. Birinchi ikkita qavs ichida turgan ifodalar nolga aylanadi, chunki va bir jinsli tenglamaning yechimlari. Demak keying tenglik

Koʻrinishni oladi. Shunday qilib, va funksiyalar quydagi tеnglamalar sistеmasini qanoatlantirsa, yaʼni:

boʻlsa, u holda funksiya (1) bir jinslimas tenglamaning yechimi boʻladi. Ushbu sistemadan va larni aniqlaymiz:

Ularni integrallab,

;

Tengliklarni hosil qilamiz, bunda va lar integrallash oʻzgarmaslari. va larning ifodalari (**) ga qoʻyib, va oʻzgarmas miqdorlarga bogʻliq boʻlgan bir jinslimas tenglamaning yechimini hosil qilamiz.