Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari” mavzusida yozgan kurs ishi

1.3. Koshi masalasi
differensial tenglamaning yechimini da boshlang’ich shartlar asosida topishga Koshi masalasi deyiladi. Birinchi tartibli differensial tenglama (n=1) uchun Koshi masalasi quyidagichadir: boshlang’ich shart da ni qanoatlantiruvchi differensial tenglamaning yechimi topilsin. Birinchi tartibli differensial uchun Koshi masalasining geometrik ma`nosi shundaki, umumiy yechimdan (egri chiziqlar dastasidan) kordinatalari , bo`lgan nuqtadan o`tuvchi integral egri chiziq ajratib olinadi.
Agar biror sohada uzluksiz bo`lib, shu sohada Lipshits sharti bajarilsa, u holda Koshi masalasi 0 shartni bajaruvchi yagona yechimga egadir (bunda N – Lipshits doimiysi).
Differensial tenglamalarning aniq yechimini topish juda kamdan – kam xollardagina mumkin bo`ladi. Amaliyotda uchraydigan ko`pdan – ko`p masalalarda aniq yechimni topishning iloji bo`lmaydi. Shuning uchun differensial
tenglamalarni yechishda taqribiy usullar muhim rol o`ynaydi. Bu usullar yechimlar qay tarzda ifodalanishlariga qarab quyidagi guruhlarga bo`linadilar:
1. Analitik usullar. Bu taqribiy usullarda yechim analitik (formula) ko`rinishda chiqadi.
2. Grafik usullar. Bu hollarda yechimlar grafik ko`rinishlarda ifodalanadi.
3. Sonli usullar. Bunda yechim jadval ko`rinishida olinadi.
Hisoblash matematikasida mazkur uch guruhga kiruvchi bir qancha usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-birlariga nisbatan muayyan kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Muhandislik masalalarini yechishda shularni hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim bo`ladi.


Koshi masalasi:
differensial tenglamaning [a,b] kesmada aniqlangan va

boshlang’ich shartlarni kanoatlantiruvchi taqribiy yechimi topilsin.


taqribiy qiymatlar lar uchun yaqinlashishlar quyidagi formulalar bo`yicha topiladi.
bunda i=0,1,2,…, n
Haqiqatdan shu shartni bajarilishini (1.3.1) masala aniq yechimini sinash funksiyasi yordamida qurish bilan tekshirish mumkin.