Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida echish, besselp tenglamasi Reja

Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida echish, besselp tenglamasi


Reja

1. 
   Golomorf funksiya. Darajali qator.
   
2. 
   Tenglamani qatorlar yordamida echish usuli.
   
3. 
   Besselp tenglamasi.
   

Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida echish uchun baozi tushunchalarni kiritamiz.

f(x) funksiya x₀ nuqtada golomorf deyiladi, agar x₀ nuqtani biror |x-x₀|< atrofida darajali qatorga yoyish mumkin bo‘lsa.
x₀ nuqta oddiy nuqta deyiladi, agar tenglamani koeffitsientlari shu nuqtada golomorf bo‘lsa, aks holda x₀ nuqta maxsus nuqta deyiladi.
Bizga
(1)
tenglama berilgan bo‘lsin. Bunda p(x) va q(x) funksiyalar x=x₀ nuqtada golomorf bo‘lsin, yaoni

yoki x₀=0 bo‘lsa,
. (2)
(2)ni (1)ga qo‘yamiz.
(3)
(3)ning echimini
(4)
ko‘rinishda qidiramiz. (4)ni (3) ga qo‘yamiz

yoki yig‘indini bir xil ko‘rinishga keltirib,

tenglikka ega bo‘lamiz, bu erda

formuladan foydalanib, quyidagi tenglikni olamiz.

ni oldidagi koeffitsientlarni nolga tenglab,

formulani hosil qilamiz.
k=0,1,2,… qiymatlari uchun

Bu sistemadan c_k koeffitsientlarni topamiz. Demak, 2-tartibli tenglamaning echimini ixtiyoriy boshlang‘ich shart va uning hosilasi yordamida ko‘rish mumkin. Bu usulni nomaolum koeffitsientlar usuli deyiladi.
Besselp tenglamasini o‘zgarmas koeffitsientga keltiriladigan tenglamalar sinfida qaralgan edi, yaoni
(5)
yoki
bo‘lib x=0 nuqta maxsus nuqta bo‘ladi.
(5)ning echimini
(6)
umumlashgan darajali qator ko‘rinishida qidiramiz.
(6)ni (5)ga qo‘yamiz

Bu ifodani ga qisqartiramiz va soddalashtiramiz

x^k ni mos tartibi oldidagi koeffitsientlarni nolga tenglaymiz
(7)
ildiz uchun, (7)dan

yoki
(8)
SHunday qilib, c₁=0 va barcha k lar uchun c_2k+1=0
(8)dan k=1,2,… qiymatlar uchun c₂,c₄,c₆,…,c_2k koeffitsientlarni topamiz.
Bu qiymatlari (6)ga qo‘yib va =n deb,

Besselp tenglamasining echimini ifodalaymiz. Xuddi shunday = -n uchun ham echimni ko‘rish mumkin .
Bunda c₀ koeffitsientni ko‘rinishda olib, gamma funksiya xossalaridan foydalanib Besselp tenglamasining xususiy echimini

topamiz.
Xuddi shunday =-n uchun

ikkinchi xususiy echimni olib, Besselp tenglamasining umumiy echimini

ko‘rinishda, 0<x<, |y|<, soha uchun hosil qilamiz.

Adabiyotlar.

1.M.S.Saloxitdinov, G.N.Nasriddinov. Oddiy differensial tenglamalar. T. O‘qituvchi.1992y.

2. Matveev N.M. Metodq integrirovaniya obeknovennыx differensialnыx uravneniy. Vesshaya shkola. 1967g.